Aiuto studio di sistema con valore assoluto

[Riky2901]

Data f(x):


f(x): $\{(ln |x-2|),(1),(a-x^2):}$
definita rispettivamente in:

- ln |x-2| in x<3; x≠2
- 1 in x=2
- a-x^2 in x$>=$3

Calcolare per quali valori del parametro a la funzione è continua in x=2

Io ho risolto in questo modo, intanto ho diviso il valore assoluto in ln(x-2) per x$>=$2 e ln(-x+2) in x<2 poi dunque la mia funzione complessiva è:

f(x): $\{(ln (x-2)),(ln(-x+2)),(1),(a-x^2):}$
definita questa volta rispettivamente in
- ln (x-2) in 2 - ln (-x+2) in x<2
- 1 in x=2
- a-x^2 in x$>=$3

ora secondo i miei calcoli f(x) non è mai continua in x=2 in quanto la condizione iniziale di x≠2 fa si che quell'uguale che troverei nel valore assoluto sparisca poi nel dominio della funzione e di conseguenza non posso calcolare i limiti destro e sinistro in x=2 poiché so già che li la mia funzione non esiste e quindi è discontinua. Ho detto bene o ho sbagliato e la funzione è continua?

[kobeilprofeta]

Ciao. Nel punto $x=2$ la funzione vale sempre $1$. ora dobbiamo controllare se non ha "salti". Quindi calcoliamo i limiti (il paramentro $a$ non credo che c'entri perchè si riferisce alla $f(x)$ solo dopo il punto di ascissa $3$...)
$lim_{x to 2^+} ln (x-2)= -infty$
$lim_{x to 2^-} ln (-x+2)= -infty$
Mentre $f(2)=1$ ergo la funzione non è continua mai. Quindi è continua per nessun valore di $a$.

[Riky2901]

questo era quello che all'inizio avevo fatto anch'io, però poi pensandoci mi sono accorto che nelle primi due logaritmi:
- ln (x-2) in 2 - ln (-x+2) in x<2

se noti il punto 2 non è compreso nel dominio quindi penso sia anche inutile calcolare il limite, in quanto è ovvio che nel punto 2 la funzione non esiste mai, o sbaglio io?

[kobeilprofeta]

Sbagli. Tu calcoli il limite proprio perchè la funzione lí non c'è ma vuoi vedere che valore assume si ti avvicini tantissimo...

[kobeilprofeta]

Non avrebbe avuto senso calcolare il limite se proprio tutta la $f(x)$ non fosse definita in $x=2$, ma questa lo è e $f(2)=1$

[Riky2901]

ah ok ok capito, grazie

[Riky2901]

scusa se ti rompo di nuovo, ma ad esempio in questo esercizio:

f(x): $\{(x+ln(1-x)),(x+e^x):}$
definita rispettivamente in -1/2
Per stabilire se è continua, non mi serve calcolare i limiti visto che so già che la funzione non è mai definita in x=0, vero?
Poi, se devo verificare che sia continua nel tratto -1/2 di zero? e quindi, essendo il risultato x<1, trovo che è continua nell'intervallo (-1/2;0)?

[kobeilprofeta]

Dopo che hai visto che l'argomento è positivo per $x<1$, noti che il logaritmo era definito solo per $1/2

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[Riky2901]

Ok grazie ancora

[kobeilprofeta]

De nada.