Aiuto sottospazio.
Ciao ragazzi ecco l'esercizio:
Dato il sottospazio U= Span ((1 2 1 0),(1 0 3 1),(0 1 1 4)) di R4.
1- Trova dimensioni di U e le sue equazioni cartesiane
IO ho fatto cosi: messo in una matrice, calcolato il rango ho visto che era dimensione 3, e le sue equazioni cartesiane (non so se è giusto mi vengono: x+y=0, 2x+z=0, x+3y+z=0, y+4z=0 ... è giusto???
2- Trova una base ortogonale e una base ortonormale di U ..... non ho mai fatto cose del genere come si trovano? so trovare solo la base ortonormale dei vettori..ma ortogonale mai fatto..come si fa??
3- Scrivi l'equazione della proiezione ortogonale su U Pu : R4-->R4, e calcola Pu (9 2 2 3) ...... questo non so proprio dove mettergli mano, mai fatto..
Vi prego aiutatemi..
Dato il sottospazio U= Span ((1 2 1 0),(1 0 3 1),(0 1 1 4)) di R4.
1- Trova dimensioni di U e le sue equazioni cartesiane
IO ho fatto cosi: messo in una matrice, calcolato il rango ho visto che era dimensione 3, e le sue equazioni cartesiane (non so se è giusto mi vengono: x+y=0, 2x+z=0, x+3y+z=0, y+4z=0 ... è giusto???
2- Trova una base ortogonale e una base ortonormale di U ..... non ho mai fatto cose del genere come si trovano? so trovare solo la base ortonormale dei vettori..ma ortogonale mai fatto..come si fa??
3- Scrivi l'equazione della proiezione ortogonale su U Pu : R4-->R4, e calcola Pu (9 2 2 3) ...... questo non so proprio dove mettergli mano, mai fatto..
Vi prego aiutatemi..
Risposte
Quelle equazioni non sono giuste, non fosse altro che per il fatto che nessuno dei vettori di U le soddisfa !
Non te ne sei accorto ?
Scrivi la matrice 4x4 come segue :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1&0\\1&0&3&1\\0&1&1&4\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
La riduci a scalini ed hai :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&-2&2&1\\0&0&-4&-9\\0&0&0&23x-7y-9z+4t\end{pmatrix} \)
E dunque l'equazione cartesiana di U è una sola ( del resto 4-3=1) ed è :
\(\displaystyle 23x-7y-9z+4t=0 \)
Ora puoi verificare che effettivamente tale equazione è soddisfatta dai vettori di U .
Quanto agl altri punti, si tratta di cose abbastanza normali ( benché un tantinello faticose nei calcoli).
Vi si parla in effetti di prodotto scalare ( canonico,suppongo), di procedimento di Gram-Schmidt ed altre cose.
Ti conviene fare uno sforzo personale di apprendimento piuttosto che vederle belle e fatte...
Non te ne sei accorto ?
Scrivi la matrice 4x4 come segue :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1&0\\1&0&3&1\\0&1&1&4\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
La riduci a scalini ed hai :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&-2&2&1\\0&0&-4&-9\\0&0&0&23x-7y-9z+4t\end{pmatrix} \)
E dunque l'equazione cartesiana di U è una sola ( del resto 4-3=1) ed è :
\(\displaystyle 23x-7y-9z+4t=0 \)
Ora puoi verificare che effettivamente tale equazione è soddisfatta dai vettori di U .
Quanto agl altri punti, si tratta di cose abbastanza normali ( benché un tantinello faticose nei calcoli).
Vi si parla in effetti di prodotto scalare ( canonico,suppongo), di procedimento di Gram-Schmidt ed altre cose.
Ti conviene fare uno sforzo personale di apprendimento piuttosto che vederle belle e fatte...
Scusa ma come si fa la verifica?, come hai fatto a capire che il mio non va bene?,..riguardo alla base ORTONORMALE so che si usa gram-schmidt, e lo so fare, ma i vettori sono : (1 2 1 0),(1 0 3 1),(0 1 1 4) ? , che differenza c'è tra base ortonormale e ortogonale??, che quella ortogonale non va normalizzata??.. riguardo all'ultimo punto ho provato vedendo anche altri esercizi ma non ce l'ho non l'ho mai fatto, se puoi aiutami per favore..e grazie
La verifica la fai sostituendo nella/e equazione/i le coordinate dei vettori di U. Prendi ad esempio la
prima delle tue equazioni : x+y=0 e sostituiscivi le coordinate del vettore (1,2,1,0) ( ponendo cioè
x=1,y=2,z=1,t=0), Ottieni l'eguaglianza assurda 1+2=0 e cosi negli altri casi . Prendi invece l'equazione
da me suggerita: 23x-7y-9z+4t=0 e sostituscivi le cordinate sempre del vettore ( 1,2,1,0) : hai
23*1-7*2-9*1+4*0=0 ovvero 0=0 che è vera. E così per gli altri vettori di U. Per il resto, non ho tutto questo tempo
ma sono certo che qualche altro ti aiuterà...
prima delle tue equazioni : x+y=0 e sostituiscivi le coordinate del vettore (1,2,1,0) ( ponendo cioè
x=1,y=2,z=1,t=0), Ottieni l'eguaglianza assurda 1+2=0 e cosi negli altri casi . Prendi invece l'equazione
da me suggerita: 23x-7y-9z+4t=0 e sostituscivi le cordinate sempre del vettore ( 1,2,1,0) : hai
23*1-7*2-9*1+4*0=0 ovvero 0=0 che è vera. E così per gli altri vettori di U. Per il resto, non ho tutto questo tempo
ma sono certo che qualche altro ti aiuterà...
Ok intanto ti ringrazio per la chiarezza della risposta, quindi per trovare le equazioni parametriche bisogna fare cosi..grazie mille
Scusa una domanda, tu che ragionamento hai fatto per dire: 4-3=1..quindi solo un equazione cartesiana??.. perchè io adesso mi trovo a scrivere un'equazione parametrica di un solo vettore..come devo fare??
upp!!!
Il numero delle equazioni che forniscono la rappresentazione cartesiana di U è dato dalla formula :
\(\displaystyle n-k \)
dove n è la dimensione dello spazio ( vettoriale) dove è immerso U e k è il rango ( o caratteristica) della matrice
che ha per righe i vettori che compongono la base di U. Nel tuo caso è : \(\displaystyle n=4,k=3 \) e dunque U è
rappresentabile con una sola equazione. Il calcolo di tale equazione ( o di tali equazioni) si ottiene con la matrice a scalini come già è stato detto. Tale calcolo, se ho capito bene il senso della seconda parte della tua domanda, vale anche nel caso la base di U si riducesse ad un solo vettore. Ti faccio un esempio. Supponi che risulti :
\(\displaystyle U=\{(2,5,-4,3)\} \)
In questo caso è n=4; la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\end{pmatrix} \) ha ovviamente rango 1
e quindi servono 4-1=3 equazioni per rappresentare U. Per trovarle scriviamo la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riduciamola a scalini :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\\0&2y-5x&2z+4x&2t-3x\end{pmatrix} \)
Per avere le equazioni cartesiane di U devi ora porre uguale a zero gli elementi non nulli dell'ultima riga della
precedente matrice. In tal modo ottieni quanto richiesto :
\(\displaystyle \begin{cases}2y-5x=0\\2z+4x=0\\2t-3x=0\end{cases} \)
P.S. Per favore togli quel "lei"
\(\displaystyle n-k \)
dove n è la dimensione dello spazio ( vettoriale) dove è immerso U e k è il rango ( o caratteristica) della matrice
che ha per righe i vettori che compongono la base di U. Nel tuo caso è : \(\displaystyle n=4,k=3 \) e dunque U è
rappresentabile con una sola equazione. Il calcolo di tale equazione ( o di tali equazioni) si ottiene con la matrice a scalini come già è stato detto. Tale calcolo, se ho capito bene il senso della seconda parte della tua domanda, vale anche nel caso la base di U si riducesse ad un solo vettore. Ti faccio un esempio. Supponi che risulti :
\(\displaystyle U=\{(2,5,-4,3)\} \)
In questo caso è n=4; la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\end{pmatrix} \) ha ovviamente rango 1
e quindi servono 4-1=3 equazioni per rappresentare U. Per trovarle scriviamo la matrice :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riduciamola a scalini :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2&5&-4&3\\0&2y-5x&2z+4x&2t-3x\end{pmatrix} \)
Per avere le equazioni cartesiane di U devi ora porre uguale a zero gli elementi non nulli dell'ultima riga della
precedente matrice. In tal modo ottieni quanto richiesto :
\(\displaystyle \begin{cases}2y-5x=0\\2z+4x=0\\2t-3x=0\end{cases} \)
P.S. Per favore togli quel "lei"
ooooo..capitooo... TI ringrazio visto che non vuoi il lei, per la chiarezza, grazie mille ancora..mi hai tolto un dubbio enorme..comunque il secondo punto dell'esercizio l'ho risolto..ora mi resta l'ultimo..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo