Aiuto SOTTOGRUPPI algebra 2
Ho il sottogruppo di S4 detto G,generatp da x=(1234) e y=(24).
Come faccio a determinare tutti i sottogruppi di G?
Quale metodo devo usare?Mi confondo troppo.
G l'ho determinato, ha ordine 8 ed è formato da : (e, x, y, x^2, x^3, xy, x^2y, x^3y)
Come faccio a determinare tutti i sottogruppi di G?
Quale metodo devo usare?Mi confondo troppo.
G l'ho determinato, ha ordine 8 ed è formato da : (e, x, y, x^2, x^3, xy, x^2y, x^3y)
Risposte
Ho iniziato così: i sottog del sottog G di ordine 8 hanno come ordine 1 divisore di 8: quindi o 1, o 2, o 4, oppure 8 quindi G stesso.
sott d ordine 1 è solo e.
sott di ordine 2 è quello in cui l'elemento diverso da e per se stesso da l'elemento unità cioè quando a e a^-1 sono uguali.
Quindi (e,y) (e,x^2) (e,xy), (e,x^2y) (e,x^3y)
MA DI ORDINE 4 NON LO SO FARE...ci ho perso un'ora
sott d ordine 1 è solo e.
sott di ordine 2 è quello in cui l'elemento diverso da e per se stesso da l'elemento unità cioè quando a e a^-1 sono uguali.
Quindi (e,y) (e,x^2) (e,xy), (e,x^2y) (e,x^3y)
MA DI ORDINE 4 NON LO SO FARE...ci ho perso un'ora
Per esempio il sottogruppo generato da $(1234)$?
Quello detto da alvinlee88 è sicuramente l'unico ciclico, ma ce ne potrebbero essere di non ciclici, cioè isomorfi a $ZZ_2xZZ_2$; devi quindi cercare dei sottogruppi che hanno l'identità, due permutazioni di ordine 2 (singole) e un'altra di ordine 2 prodotto delle altre 2.
Vediamo di risolvere esaurientemente l'esercizio. Chiamando $G$ il nostro gruppo, vediamo che è isomorfo a $D_4$, il gruppo delle isomoetrie del quadrato.
Infatti l'assegnazione $f(r)=(1234)$, $f(s)=(24)$ definiscie un omomorfismo iniettivo dal diedrale, in quanto resta rispettata la legge di composizione, ovvero si ha $f(r)f(s)=f(s)f(r)^(-1)$ (basta fare il conto). nota: r e s sono le solite rotazioni di ordine 4 e una simmetria.
$f$ è quindi un isomorfismo fra $D_4$ e la sua immagine, che per costruzione è proprio $G$. Dunque basterà cercare i sottogruppi di $D_4$, che conosciamo in virtù della seguente caratterizzazione:
In $D_n$ i sottogruppi sono del tipo $H_(u,a)= = uu sr^a$, con $0<=a$, con $0<=h~={e,(13)(24)}$ e poi i ciclici di ordine 2 generati dalle simmetrie,ovvero quelli del tipo $f(H_4,a)$ (con $u=1,3$ otteniamo tutto il gruppo).
Infatti l'assegnazione $f(r)=(1234)$, $f(s)=(24)$ definiscie un omomorfismo iniettivo dal diedrale, in quanto resta rispettata la legge di composizione, ovvero si ha $f(r)f(s)=f(s)f(r)^(-1)$ (basta fare il conto). nota: r e s sono le solite rotazioni di ordine 4 e una simmetria.
$f$ è quindi un isomorfismo fra $D_4$ e la sua immagine, che per costruzione è proprio $G$. Dunque basterà cercare i sottogruppi di $D_4$, che conosciamo in virtù della seguente caratterizzazione:
In $D_n$ i sottogruppi sono del tipo $H_(u,a)=
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Ecco, sono esercizi come questo che mi hanno portato a non apprezzare particolarmente l'Algebra...
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Ecco, sono esercizi come questo che mi hanno portato a non apprezzare particolarmente l'Algebra...
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"Gugo82":
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Ecco, sono esercizi come questo che mi hanno portato a non apprezzare particolarmente l'Algebra...
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Sono esempi di conteggio, non sono molto diversi da quelli che si incontrano in analisi nelle ricerche della numerabilità degli insiemi (o funzioni), la differenza è che ti piace di più quest'ultima
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