Aiuto! sistemi di generatori e lineare dipendenza/indipendenza
Ciao ragazzi, sono nuova del forum e mi sono iscritta perché spero possiate aiutarmi nel mio percorso di preparazione all'esame di geometria e algebra lineare. Facendo degli esercizi mi sono imbattuta in questo quesito: se in uno spazio vettoriale V esistono h vettori linearmente indipendenti si ha: a) ogni sistema di generatori è costituito da almeno h vettori (vero), b) esiste un sistema di generatori costituito da h vettori (falso) e c) h+1 vettori sono sempre linearmente dipendenti (falso). Potreste spiegarmi il perché di queste risposte? Per esempio io avrei dato per vera l'esistenza di un sistema di generatori costituito da h vettori, che corrisponderebbe ad una base nello spazio, no? Grazie
Risposte
Supponiamo che tu abbia $3$ vettori linearmente indipendenti in [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Questi costituiscono una base per questo spazio?
Una base di uno spazio vettoriale deve essere costituita da un certo numero di vettori linearmente indipendenti tali che lo Span di questi vettori coincida proprio con il suddetto spazio vettoriale. Supponiamo di avere:
$$ \vec v_1 = (1,0,0,0), \ \vec v_2 = (0,1,0,0), \ \vec v_3 = (0,0,1,0) $$
Puoi verificare immediatamente che sono linearmente indipendenti. Bene, i vettori:
$$ \vec v_a = (0,0,0,a), \ 0 \neq a \in \mathbb{R}$$
che appartengono a [tex]\mathbb{R}^4[/tex], possono essere generati da quei $3$ vettori? Puoi controllarlo velocemente. La risposta è no. Questo perchè c'è un teorema che afferma che la dimensione dello spazio deve coincidere con il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in quello spazio. I vettori che soddisfano questa condizione sono una base dello spazio. Generalizzando:
Sia dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$. Allora, $n$ vettori linearmente indipendenti in $V$ costituiscono una base dello stesso.
Per avere una spiegazione più rigorosa e magari anche qualche dimostrazione dovresti guardare sul libro di Marco Abate, molto usato, o in quello di Serge Lang.
Una base di uno spazio vettoriale deve essere costituita da un certo numero di vettori linearmente indipendenti tali che lo Span di questi vettori coincida proprio con il suddetto spazio vettoriale. Supponiamo di avere:
$$ \vec v_1 = (1,0,0,0), \ \vec v_2 = (0,1,0,0), \ \vec v_3 = (0,0,1,0) $$
Puoi verificare immediatamente che sono linearmente indipendenti. Bene, i vettori:
$$ \vec v_a = (0,0,0,a), \ 0 \neq a \in \mathbb{R}$$
che appartengono a [tex]\mathbb{R}^4[/tex], possono essere generati da quei $3$ vettori? Puoi controllarlo velocemente. La risposta è no. Questo perchè c'è un teorema che afferma che la dimensione dello spazio deve coincidere con il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in quello spazio. I vettori che soddisfano questa condizione sono una base dello spazio. Generalizzando:
Sia dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$. Allora, $n$ vettori linearmente indipendenti in $V$ costituiscono una base dello stesso.
Per avere una spiegazione più rigorosa e magari anche qualche dimostrazione dovresti guardare sul libro di Marco Abate, molto usato, o in quello di Serge Lang.
Grazie mille per la risposta repentina. Ora mi è più chiaro 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo