Aiuto, se possibile, per capire metodo di svolgimento esercizio
Ieri ho rifiutato un 19 a geometria e algebra poichè come esercizi, erano usciti alcuni che non aveva mai messo, tant'è che molti non hanno nemmeno consegnato. Il primo esercizio era suddiviso in 4 punti e richiedeva:
dato f(x,y,z)€R^3 (-y,15x+z,y)€R^3 e Wh=L((5h,0,15),(h,1,3)), h€R
a)determinare i valori di h tali che Wh=Imf
b) determinare i valori di h tali che kerf sia sottoinsieme di Wh
c)determinare i valori di k tali che (1,k+15,k) sia autovettore di f
d)molteplicità algebriche, geometriche, autovalori di f , dire se f è diagonalizzabile e determinare i valori del parametro lambda tali che (5lambda,lambda^3+lambda^2+1,2) appartenga all'sottoinsieme Imf
Purtroppo tranne gli autovalori mi sono completamente imballato e ho fatto solo i 3 sulle rette più le domande di teoria (1) nel compito
se qualcuno fosse così gentile da guidarmi passo passo nel metodo di risoluzione.... So che chiedo troppo , però sul'eserciziario del corso e gli appunti non vi sono esempi :/ Grazie
dato f(x,y,z)€R^3 (-y,15x+z,y)€R^3 e Wh=L((5h,0,15),(h,1,3)), h€R
a)determinare i valori di h tali che Wh=Imf
b) determinare i valori di h tali che kerf sia sottoinsieme di Wh
c)determinare i valori di k tali che (1,k+15,k) sia autovettore di f
d)molteplicità algebriche, geometriche, autovalori di f , dire se f è diagonalizzabile e determinare i valori del parametro lambda tali che (5lambda,lambda^3+lambda^2+1,2) appartenga all'sottoinsieme Imf
Purtroppo tranne gli autovalori mi sono completamente imballato e ho fatto solo i 3 sulle rette più le domande di teoria (1) nel compito
se qualcuno fosse così gentile da guidarmi passo passo nel metodo di risoluzione.... So che chiedo troppo , però sul'eserciziario del corso e gli appunti non vi sono esempi :/ Grazie
Risposte
nessuno mi può aiutare ? (
EDIT: allora ho provato a scervellarmi e ho fatto così, gradirei solo se qualcuno conferma la bontà del ragionamento
:
f(1,0,0)=(0,15,0)
f(0,1,0)=(-1,0,1)
f(0,0,1)=(0,1,0)
0 15 0 lo elimino perchè proporzionale a 010 quindi:
a(-1,0,1)+b(01,0)=(5h,0,15)
{-a
b=1
a=3 h =-3
a(-1,0,1)+b(0,1,0)=(h,1,3)
{-a=h
b=1
a=3 h=-3
per h=-3 Wh=Imf
imf=wh = 2
dimImf=2 ---> dim kerf=1 ma poi come si continua ??
per i valori di k mi trovo che per k=-15 è autovettore di f, mentre per i valori lambda come dovrei procedere?
(EDIT: allora ho provato a scervellarmi e ho fatto così, gradirei solo se qualcuno conferma la bontà del ragionamento
:f(1,0,0)=(0,15,0)
f(0,1,0)=(-1,0,1)
f(0,0,1)=(0,1,0)
0 15 0 lo elimino perchè proporzionale a 010 quindi:
a(-1,0,1)+b(01,0)=(5h,0,15)
{-a
b=1
a=3 h =-3
a(-1,0,1)+b(0,1,0)=(h,1,3)
{-a=h
b=1
a=3 h=-3
per h=-3 Wh=Imf
imf=wh = 2
dimImf=2 ---> dim kerf=1 ma poi come si continua ?
?per i valori di k mi trovo che per k=-15 è autovettore di f, mentre per i valori lambda come dovrei procedere?
Allora, ci sono metodi più standard per risolvere il punto a). Il metodo dei minori orlati per citarne uno... Comunque per il punto a) il risultato è corretto.
Per il punto b) sapendo il generatore del $ker(f)$ puoi ridurti a discutere la nullità di un determinante. Devi vedere se tre vettori di $\mathbb{R}^3$ sono linearmente indipendenti!
Per il punto c) non serve che lo faccia io... Trovi gli autovettori di $f$ e vedi per quali $k$ il vettore $(1,k+15,k)$ è linearmente indipendente da questi (naturalmente tu dovrai prendere i $k$ reali complementari per rispondere alla domanda). Se usi i minori orlati è la sagra del determinante.
d) la molteplicità geometrica e algebrica le trovi usando le definizioni. Se è o no diagonalizzabile te lo dice un teorema che lega insieme la molteplicità algebrica e quella geometrica degli autovalori. Dovresti conoscerlo...
Per l'ultimo punto sui lambda è davvero solo un determinante. Riflettici!
PS: occhio perché i sottoinsiemi non sono sottospazi vettoriali. Sicuramente il testo si riferiva solo a sottospazi vettoriali.
Per il punto b) sapendo il generatore del $ker(f)$ puoi ridurti a discutere la nullità di un determinante. Devi vedere se tre vettori di $\mathbb{R}^3$ sono linearmente indipendenti!
Per il punto c) non serve che lo faccia io... Trovi gli autovettori di $f$ e vedi per quali $k$ il vettore $(1,k+15,k)$ è linearmente indipendente da questi (naturalmente tu dovrai prendere i $k$ reali complementari per rispondere alla domanda). Se usi i minori orlati è la sagra del determinante.
d) la molteplicità geometrica e algebrica le trovi usando le definizioni. Se è o no diagonalizzabile te lo dice un teorema che lega insieme la molteplicità algebrica e quella geometrica degli autovalori. Dovresti conoscerlo...
Per l'ultimo punto sui lambda è davvero solo un determinante. Riflettici!
PS: occhio perché i sottoinsiemi non sono sottospazi vettoriali. Sicuramente il testo si riferiva solo a sottospazi vettoriali.
Scusa, mi sono sbagliato per il punto c) (avevo letto male la traccia!). Devi trovare tutti gli autovettori di $f$, poi vedi per quali $k$ il vettore $(1,k+15,k)$ è parallelo al primo autovettore, poi al secondo e così via.
Chiaramente anche qui, volendo, potresti usare i minori orlati, tuttavia dato che hai solo due vettori alla volta non serve. Basta controllare che il vettore $(1,k+15,k)$ è multiplo del primo autovettore. Poi rifai lo stesso per gli altri autovettori se ce ne sono. Alla fine hai tutti i $k$ che ti servono...
Chiaramente anche qui, volendo, potresti usare i minori orlati, tuttavia dato che hai solo due vettori alla volta non serve. Basta controllare che il vettore $(1,k+15,k)$ è multiplo del primo autovettore. Poi rifai lo stesso per gli altri autovettori se ce ne sono. Alla fine hai tutti i $k$ che ti servono...
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