Aiuto risoluzione eserercizi base Imf e ker
Buonasera a tutti.
Ho bisogno di aiuto, sono conscio però del mio poco studio della materia, ho però bisogno di passare lo scritto di analisi 1 nel quale geometria è inserita.
Riesco a calcolare Ker e Im e anche le basi di ker. Pensavo di sapere calcolare anche le basi di Im e invece mi trovo in difficoltà.
Ricapitolando, le basi di ker non sono altro che le soluzioni che avrò dopo aver fatto la matrici a scalini e dando un valore generico al parametro.
Invece le basi di Im sono le colonne con pivot nella forma ridotta a scalini, giusto?
Ad esempio:
$| 1, 0, 2 , 0|
$| 2, 3, -1, 1|
$|-2 ,0 ,5 ,4|
riduco a scalini:
$|1 ,0 ,2 ,0|
$|0 ,3 ,-3 ,1|
$|0, 0, 9, 6|
rango=3 => ker =1 , Im=3
La base di ker la avrò impostandomi il sistema con le incognite .
La base di Im invece dovrebbe essere ( w1,w2, w3 ) , cioè ( 1 0 0 ; 0 3 0 ; 2 -3 9) che sono appunto colonne con i pivot , sbaglio?
Inoltre quando mi chiede di trovare le basi rispetto alla base canonica cosa devo fare? In questo caso ad esempio?
Il mio libro è molto scadente e ho uno scritto imminente, per questo vi disturbo! Grazie per l'aiuto!
Ho bisogno di aiuto, sono conscio però del mio poco studio della materia, ho però bisogno di passare lo scritto di analisi 1 nel quale geometria è inserita.
Riesco a calcolare Ker e Im e anche le basi di ker. Pensavo di sapere calcolare anche le basi di Im e invece mi trovo in difficoltà.
Ricapitolando, le basi di ker non sono altro che le soluzioni che avrò dopo aver fatto la matrici a scalini e dando un valore generico al parametro.
Invece le basi di Im sono le colonne con pivot nella forma ridotta a scalini, giusto?
Ad esempio:
$| 1, 0, 2 , 0|
$| 2, 3, -1, 1|
$|-2 ,0 ,5 ,4|
riduco a scalini:
$|1 ,0 ,2 ,0|
$|0 ,3 ,-3 ,1|
$|0, 0, 9, 6|
rango=3 => ker =1 , Im=3
La base di ker la avrò impostandomi il sistema con le incognite .
La base di Im invece dovrebbe essere ( w1,w2, w3 ) , cioè ( 1 0 0 ; 0 3 0 ; 2 -3 9) che sono appunto colonne con i pivot , sbaglio?
Inoltre quando mi chiede di trovare le basi rispetto alla base canonica cosa devo fare? In questo caso ad esempio?
Il mio libro è molto scadente e ho uno scritto imminente, per questo vi disturbo! Grazie per l'aiuto!
Risposte
Per la base di $Imf$ hai fatto bene. Per trovare le equazioni (e quindi la base) di $Kerf$, devi impostare il sistema omogeneo $Ax=0$ ($x$ vettore delle incognite, $A$ matrice dell'applicazione).
Sull'ultima domanda, non ho ben capito. Considera che la matrice relativa all'applicazione è rispetto ad una certa base $B$ dello spazio di partenza e ad un'altra certa base $B'$ nello spazio di arrivo. Se non è specificato, si considera che $B,B'$ siano le rispettive basi canoniche degli spazi.
Se per caso dovessi avere i vettori espressi in altri basi e dovessi trovarli espressi nella base canonica, basta che ricordi le definizioni; se hai un vettore $v$ espresso in coordinate $(a_1,...,a_n)$ rispetto alla base $\{v_i\}_{i=1,\cdots,n}$ per trovarlo in coordinate rispetto alla base canonica è sufficiente fare $a_1 v_1 + ...+a_n v_n$. (vedi definizione di base canonica e di coordinate rispetto ad una base)
Paola
Sull'ultima domanda, non ho ben capito. Considera che la matrice relativa all'applicazione è rispetto ad una certa base $B$ dello spazio di partenza e ad un'altra certa base $B'$ nello spazio di arrivo. Se non è specificato, si considera che $B,B'$ siano le rispettive basi canoniche degli spazi.
Se per caso dovessi avere i vettori espressi in altri basi e dovessi trovarli espressi nella base canonica, basta che ricordi le definizioni; se hai un vettore $v$ espresso in coordinate $(a_1,...,a_n)$ rispetto alla base $\{v_i\}_{i=1,\cdots,n}$ per trovarlo in coordinate rispetto alla base canonica è sufficiente fare $a_1 v_1 + ...+a_n v_n$. (vedi definizione di base canonica e di coordinate rispetto ad una base)
Paola
Trovare una base e la dimensione dell’immagine ImT e del nucleo kerT dell’applicazione T : R4 → R3, rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla seguente
matrice.
Questa è la traccia dell'esercizio. Mi trovo con le dimensioni e la base di kerT , però invece per trovarmi la base di ImT mi porta questo:
Dal teorema della dimensione, dim Im T = 3, ed una base per Im T `e quella canonica di R3, ovvero
BImT = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
Da come mi dici tu dovrei moltiplicare ogni riga della matrice per una base, ma a dire la verità non mi è ancora molto chiaro!
matrice.
Questa è la traccia dell'esercizio. Mi trovo con le dimensioni e la base di kerT , però invece per trovarmi la base di ImT mi porta questo:
Dal teorema della dimensione, dim Im T = 3, ed una base per Im T `e quella canonica di R3, ovvero
BImT = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
Da come mi dici tu dovrei moltiplicare ogni riga della matrice per una base, ma a dire la verità non mi è ancora molto chiaro!
No, io ti ho semplicemente detto come passare da coordinate rispetto ad una base generica a coordinate rispetto alla base canonica.
Vedendo la matrice hai svolto bene l'esercizio, visto che il rango della matrice è $3$ e le prime tre colonne sono linearmente indipendenti (e, ripeto, le colonne sono generatori di $Imf$).
Paola
Vedendo la matrice hai svolto bene l'esercizio, visto che il rango della matrice è $3$ e le prime tre colonne sono linearmente indipendenti (e, ripeto, le colonne sono generatori di $Imf$).
Paola
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