Aiuto ricerca coniche
Raga, una mano.
1) Si scriva un'equazione cartesiana della conica avente come asintoto la retta 2x +3y -1 = 0, tangente in P = (0,1) alla retta y = x + 1 e passante per il punto Q = (1,3). Classificare tale conica.
2)Determinare un'equazione omogenea per la parabola di asse parallelo alla retta di equazione y - 3x = 0, passante per il punto P (2,1) ed avente la retta 2x - y - 4 = 0 come tangente in O (3,2).
Questi invece sono esercizi che ho già fatto ma di cui non sono sicuro del risultato:
Nel piano proiettivo e complessificato determinare un'equazione omogenea della parabola passante per [tex]Q(5,3)[/tex] per il punto improprio dell'asse x e tangente in $R(3,2)$ alla retta $s: 3x-4y-1=0$
La soluzione che ho trovato io è $-2Y^2+3X + 4Y - 9T =0$
La corrispondente cartesiana è quindi $-2y^2+3x + 4y - 9 =0$ e quindi $\lambda=-2$
Il metodo che ho usato è quello del fascio. Infatti abbiamo 5 condizioni lineari: 2 tangenze in un punto dato a una retta (che valgono 2 punto l'una, quindi quattro) e il passaggio per il punto Q (che vale una condizione lineare). Quindi ho proceduto in questo modo: ho impostato il fascio di coniche bitangenti alla retta s e alla retta impropria T=0. Le due coniche del fascio sono il prodotto delle due tangenti ovvero T(3X - 4Y - 1) e l'altra è la retta passante per i due punti di tangenza contata due volte (cioé elevata al quadrato). Quest'ultima la ricavo imponendo il passaggio per il punto di tangenza R e il punto improprio dell'asse x (1,0,0) ed è 2T - Y (oppure Y-2T, tanto elevandola al quadrato è lo stesso).
L'equazione finale del fascio è $T(3X - 4Y - 1) + \lambda(Y-2T)^2=0$ Lambda lo trovo imponendo il passaggio per Q che viene $2+\lambda=0$ e quindi $\lambda=-2$
Svolgendo poi l'equazione del fascio con questo valore di $\lambda$ trovo l'equazione di cui sopra.
Altri risultati che vorrei che qualcuno ricontrollasse sono
1) Si scriva un'equazione cartesiana dell'iperbole equilatera tangente alla retta $x+y+1=0$ nel suo punto improprio, passante per l'origine e per il punto $P(3,2)$
Il risultato da me trovato è $(2x-3y)(x+y-1) + \frac{1}{2}(-x-y)(-x-y+5)=0$ [Il risultato da cui fare copia incolla: (2x-3y)(x+y-1) + 1/2(-x-y)(-x-y+5)=0]
2) Si scriva un'equazione omogenea per le parabole passanti per i punti $(3,0)$, $Q(1,4)$ e per il punto improprio della retta $x-y+3=0$
Risultato: $-4x-2y+12+\lambda(x-y-3)(x-y+3)=0$
In pratica ho trovato che per ogni valore di lambda si ottiene una parabola soddisfacente le condizioni date, quindi il ci sono infinite soluzioni (per gli infiniti valori di lambda).
Grazie, per l'aiuto; purtroppo ho l'esame tra sole due settimane :help:
1) Si scriva un'equazione cartesiana della conica avente come asintoto la retta 2x +3y -1 = 0, tangente in P = (0,1) alla retta y = x + 1 e passante per il punto Q = (1,3). Classificare tale conica.
2)Determinare un'equazione omogenea per la parabola di asse parallelo alla retta di equazione y - 3x = 0, passante per il punto P (2,1) ed avente la retta 2x - y - 4 = 0 come tangente in O (3,2).
Questi invece sono esercizi che ho già fatto ma di cui non sono sicuro del risultato:
Nel piano proiettivo e complessificato determinare un'equazione omogenea della parabola passante per [tex]Q(5,3)[/tex] per il punto improprio dell'asse x e tangente in $R(3,2)$ alla retta $s: 3x-4y-1=0$
La soluzione che ho trovato io è $-2Y^2+3X + 4Y - 9T =0$
La corrispondente cartesiana è quindi $-2y^2+3x + 4y - 9 =0$ e quindi $\lambda=-2$
Il metodo che ho usato è quello del fascio. Infatti abbiamo 5 condizioni lineari: 2 tangenze in un punto dato a una retta (che valgono 2 punto l'una, quindi quattro) e il passaggio per il punto Q (che vale una condizione lineare). Quindi ho proceduto in questo modo: ho impostato il fascio di coniche bitangenti alla retta s e alla retta impropria T=0. Le due coniche del fascio sono il prodotto delle due tangenti ovvero T(3X - 4Y - 1) e l'altra è la retta passante per i due punti di tangenza contata due volte (cioé elevata al quadrato). Quest'ultima la ricavo imponendo il passaggio per il punto di tangenza R e il punto improprio dell'asse x (1,0,0) ed è 2T - Y (oppure Y-2T, tanto elevandola al quadrato è lo stesso).
L'equazione finale del fascio è $T(3X - 4Y - 1) + \lambda(Y-2T)^2=0$ Lambda lo trovo imponendo il passaggio per Q che viene $2+\lambda=0$ e quindi $\lambda=-2$
Svolgendo poi l'equazione del fascio con questo valore di $\lambda$ trovo l'equazione di cui sopra.
Altri risultati che vorrei che qualcuno ricontrollasse sono
1) Si scriva un'equazione cartesiana dell'iperbole equilatera tangente alla retta $x+y+1=0$ nel suo punto improprio, passante per l'origine e per il punto $P(3,2)$
Il risultato da me trovato è $(2x-3y)(x+y-1) + \frac{1}{2}(-x-y)(-x-y+5)=0$ [Il risultato da cui fare copia incolla: (2x-3y)(x+y-1) + 1/2(-x-y)(-x-y+5)=0]
2) Si scriva un'equazione omogenea per le parabole passanti per i punti $(3,0)$, $Q(1,4)$ e per il punto improprio della retta $x-y+3=0$
Risultato: $-4x-2y+12+\lambda(x-y-3)(x-y+3)=0$
In pratica ho trovato che per ogni valore di lambda si ottiene una parabola soddisfacente le condizioni date, quindi il ci sono infinite soluzioni (per gli infiniti valori di lambda).
Grazie, per l'aiuto; purtroppo ho l'esame tra sole due settimane :help:
Risposte
L'iperbole passa doppiamente per S(3,-2,0),punto improprio [in coordinate proiettive]dell'asintoto e
doppiamente per P(0,1,1),punto di contatto tra la curva e la tangente data.
Pertanto l'equazione del fascio di coniche ,determinato da questi due punti doppi,e':
$ lambda *(SS*PP)+mu *(SP*SP)=0$,avendo indicato col simbolo XY la retta per i punti X ed Y.
Nel nostro caso si ha:
(1) $lambda(2x+3y-t)(x-y+t)+mu(2x+3y-3t)^2=0$
Imponendo il passaggio per Q(1,3,1) si ha :
$lambda=(32)/5*mu$ e quindi la (1) diventa:
$32(2x+3y-t)(x-y+t)+5(2x+3y-3t)^2=0$
Sviluppando i calcoli si ha l'equazione della conica richiesta:
$84x^2+92xy-51y^2-28x+38y+13=0$
Si tratta di un'iperbole ,come e' ovvio a priori visto che tra le coniche solo l'iperbole possiede asintoti propri.
Per gli altri esercizi ,in maniera analoga.
karl
doppiamente per P(0,1,1),punto di contatto tra la curva e la tangente data.
Pertanto l'equazione del fascio di coniche ,determinato da questi due punti doppi,e':
$ lambda *(SS*PP)+mu *(SP*SP)=0$,avendo indicato col simbolo XY la retta per i punti X ed Y.
Nel nostro caso si ha:
(1) $lambda(2x+3y-t)(x-y+t)+mu(2x+3y-3t)^2=0$
Imponendo il passaggio per Q(1,3,1) si ha :
$lambda=(32)/5*mu$ e quindi la (1) diventa:
$32(2x+3y-t)(x-y+t)+5(2x+3y-3t)^2=0$
Sviluppando i calcoli si ha l'equazione della conica richiesta:
$84x^2+92xy-51y^2-28x+38y+13=0$
Si tratta di un'iperbole ,come e' ovvio a priori visto che tra le coniche solo l'iperbole possiede asintoti propri.
Per gli altri esercizi ,in maniera analoga.
karl
Guarda, non so come ringraziarti! 
Adesso provo con tutti gli altri esercizi che non mi riuscivano!
Ciao
Adesso provo con tutti gli altri esercizi che non mi riuscivano!
Ciao
Ok, ho risolto anche il secondo: l'equazione della parabola è $9x^2+y^2-6xy-34x+10y+33=0$ e il suo asse è $y=3x-\frac{28}{5}$ che infatti è parallelo a $y-3x=0$.
Qualcuno può confermare la soluzione? Grazie, ciao.
Qualcuno può confermare la soluzione? Grazie, ciao.
Scrivi l'equazione della parabola in coordinate proiettive.Per il resto tutto Ok..
Complimenti!
karl
Complimenti!
karl
"karl":Si giusto, l'equazione omogenea è semplicemente $9X^2+Y^2-6XY-34XT+10YT+33T=0$
Scrivi l'equazione della parabola in coordinate proiettive.Per il resto tutto Ok..
Complimenti!
karl
Ciao
Ieri ho dato lo scritto di geometria. L'esercizio sulle coniche era questo:
La soluzione da me trovata è questa: $2X^2-2Y^2-3XY+XT+2YT=0$
Per determinarla ho considerato il fascio di coniche tangenti in P alla retta data; la prima conica degenere è quella formata dalla retta r e dalla retta per O e R, la seconda dalle rette PR e PO. Imponendo la condizione che l'iperbole fosse equilatera $a_{11}+a_{22}=0$ ho trovato la soluzione. Qualcuno può cortesemente ricontrollare il risultato sopra? Grazie
Determinare un'equazione omogenea per l'iperbole equilatera tangente alla retta $r: x+y=1$ nel punto $P (0,1,1)$ e passante per i punti $R (2,1,0)$ e $O (0,0,1)$.
La soluzione da me trovata è questa: $2X^2-2Y^2-3XY+XT+2YT=0$
Per determinarla ho considerato il fascio di coniche tangenti in P alla retta data; la prima conica degenere è quella formata dalla retta r e dalla retta per O e R, la seconda dalle rette PR e PO. Imponendo la condizione che l'iperbole fosse equilatera $a_{11}+a_{22}=0$ ho trovato la soluzione. Qualcuno può cortesemente ricontrollare il risultato sopra? Grazie
Va beh, ho capito, nessuno ha voglia di ricontrollare la soluzione. Comunque ho visto la correzione dell'esame ed effettivamente su questo esercizio ho preso il massimo dei voti.
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