Aiuto problema di geometria

[saruman87]

qualcuno sa come si risolve questo problema?

si scriva l'equazione cartesiana del piano a, passante per il punto A(0,1,2) e perpendicolare al vettore P1P2, essendo P1(0,1,-1), P2(0,-2,0). Si stabilisca poi se tale piano è perpendicolare o no al piano di equazione x - 3y - 9z = 10

Grazie!

[saruman87]

nessuna lo sa come si risolve?

[codino75]

puoi scrivere l'abbozzo del tuo procedimento , ancorche' sbagliato, perche' io ho una mezza idea ma non riesco a focalizzarla.
in particolare penso che dovresti fare:
-pssaggio per il punto
-condizione di perpendicolarita' (che non ricordo ma dovrebbe essere h x + k y + j z + 1=0 se deve essere perpendicolre a (h,k,j)

[saruman87]

ho fatto così:

- per determinare l'equazione del piano:

ho fatto il prodotto vettoriale dei due vettori per determinarmi P1P2
P1P2 = (2i + 0j + 0k)

poi ho usato questa formula per determinare il piano
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

sostituendo
2(x-0) + 0(y-1) + 0(z-2) = 0

2x + 0 + 0 = 0

- poi per vedere se i due piani sono perpendicolari

ho usato questa formula
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

sostituendo
1*2 + 0*(-3) + 0*(-9) = 0
non sono perpendicolari


si fa così il problema oppure ho sbagliato?

[codino75]

"saruman87":
ho fatto il prodotto vettoriale dei due vettori per determinarmi P1P2
P1P2 = (2i + 0j + 0k)

scusa ma il piano deve essere perpendicolare
al vettore prodotto vettoriale di P1 e P2
oppure
- al vettore che congiunge i due punti P1 e P2 ?

dal testo sembrerebbe la seconda che ho scritto.

[saruman87]

a dire il vero non lo so... io ho provato a fare il prodotto vettoriale per sapere qual'è il vettore risultante... ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

Il prodotto vettoriale di $vec(OP_1),vec(OP_2)$ e' errato e comunque serve a poco.
Sia $ax+by+cz+d=0$ l'equazione del piano che si cerca,allora il vettore direzionale
delle normali ad esso e' $(a,b,c)$ mentre quello di $vec(P_1P_2)$ e' $(0,3,-1)$.
Poiche' questi due vettori devono essere paralleli si ha che:
$0/a=3/b=(-1)/c$ da cui si trae $a=0,b=3k,c=-k$ e quindi l'equazione del piano diventa:
$3ky-kz+d=0$
Imponendo il passaggio per A risulta:
$3k-2k+d=0$ da cui $d=-k$, di modo che l'equazione del piano e' $3ky-kz-k=0$
Ovvero dividendo per k ( che non puo' essere nullo) si ha l'equazione voluta:
$3y-z-1=0$
E' facile vedere che esso piano e' perpendicolare al piano $x-3y-9z=10$
karl

[saruman87]

"karl":Il prodotto vettoriale di $vec(OP_1),vec(OP_2)$ e' errato e comunque serve a poco.
Sia $ax+by+cz+d=0$ l'equazione del piano che si cerca,allora il vettore direzionale
delle normali ad esso e' $(a,b,c)$ mentre quello di $vec(P_1P_2)$ e' $(0,3,-1)$.
Poiche questi due vettori devono essere paralleli si ha che:
$0/a=3/b=(-1)/c$ da cui si trae $a=0,b=3k,c=-k$ e quindi l'equazione del piano diventa:
$3ky-kz+d=0$
Imponendo il passaggio per A risulta:
$3k-2k+d=0$ da cui $d=-k$, di modo che l'equazione del piano e' $3ky-kz-k=0$
Ovvero dividendo per k ( che non puo' essere nullo) si ha l'equazione voluta:
$3y-z-1=0$
E' facile vedere che esso piano e' perpendicolare al piano $x-3y-9z=10$
karl

grazie!

posso chiederti un'altra cosa: e se il piano doveva essere parallelo e non perpendicolare al vettore, come lo impostavo?

[Sk_Anonymous]

Di piani passanti per un punto e paralleli ad una direzione assegnata ce
ne sono infiniti.Pertanto il problema da te proposto ,in questo secondo caso,
risulta indeterminato.Come si potrebbe confermare anche con i calcoli.
karl