Aiuto per una dimostrazione (del teorema di gordan?)

[Nebula2]

volevo dimostrare il seguente teorema d'alternativa (è il teorema di gordan?), ma la mia dimostrazione non mi sembra abbastanza semplice. di sicuro ce ne è una migliore in giro, ma non sono riuscito a trovarla.

sia $A \in M_{m,n}$. allora uno ed uno solo dei seguenti sistemi ammette soluzione:
$ (S1) \{ (A^t x = 0),(x \geq 0):}
$ (S2) Ay>0

ho indicato con $x \geq 0$ i vettori semidefiniti positivi, ed analogamente per $> 0$.


la mia dimostrazione:

supponiamo per assurdo che esistano $x$ soluzione di $(S1)$ e $y$ soluzione di $(S2)$.
allora deve valere:
$0 = = > 0$.
assurdo.

per dimostrare che almeno un sistema ammette soluzione, non ho idee.

consigli?
grazie.

[Nebula2]

continuando a pensarci, ecco cosa mi è venuto in mente.

supponiamo che valga la seguente proposizione:
Sia $V subset RR^n$ uno spazio vettoriale tale che $V nn \{x > 0 \} $ sia l'insieme vuoto.
Allora il suo complemento ortogonale contiene un vettore definito positivo.

Allora, se non è risolubile $(S1)$ siamo nelle ipotesi della proposizione, quindi esiste un $v>0$ nel complemento ortogonale di $ker A^t$, ovvero nell'immagine di A, da cui $(S2)$ è risolubile.

funziona?