Aiuto per un endomorfismo, ho fatto bene?
Salve a tutti,
tra non molto dovrò dare l'esame di geometria e algebra, e, ahimè, non sono proprio a buon punto. L'esercizio principale dello scritto è molto simile a quello riportato di seguito, metà so svolgerlo, l'altra metà no (o almeno non ne sono sicuro). Ho scritto l'esercizio con i vari punti e per ogni punto ho scritto come si risolve.
Quanlcuno più saggio ed esperto di me in materia, potrebbe gentilmente aiutarmi per favore?
Scrivo l'esercizio:
Sia $f : R3 -> R3$
l'endomorfsmo defnito da:
$f((x; y; z)) = (x - 2y + 3z; -2x + 4y - 6z; x - 2y + 3z)$
$A$ = $((1,-2,1),(-2,4,-2),(3,-6,3))$
(1) Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ e $Im(f)$.
(2) Determinare le immagini tramite $f$ dei vettori
$u1 = (2h + 1)e2; u2 = he1 + he2 + 3e3; u3 = 3e1 - 3e2 + he3;$
essendo $E = (e1; e2; e3)$ la base canonica di $R3$ e h un parametro reale;
(3) Trovare, se esistono, i valori del parametro h per i quali $[u1; u2; u3]$ sia una base di $R3$
e quelli per i quali $[f(u1); f(u2); f(u3)]$ sia una base di $R3$.
(4) Determinare la controimmagine del vettore $v = (¡4; k + 3; k ¡ 9)$, al variare del parametro reale $k$.
(5) Posto $X = t$
$(x y z)$ e indicata con $A$ la matrice tale che $f^t$$((x; y; z)) = AX$ , stabilire se $A$
risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la
corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile.
6)Esibire, se esiste, un vettore di $R3$ privo di controimmagine.
Dunque:
1)Inutile dirlo, la cosa più semplice, la so fare.
2)Faccio
$A$ x $((0,h,3),(h+1,2,-3),(0,3,h))$ = $M$
Le colonne di M sono le immagini tramite $f$ dei vettori $u1, u2 e u2$, ovviamente per $h : det M != 0$
3)$[u1, u2, u3]$ è una base di $R³$ se e solo se la matrice
$((0,h,3),(h+1,2,-3),(0,3,h))$
ha rango 3 (cioè determinante ≠ 0), quindi vedo per quale h accade.
Invece per $[f(u1), f(u2), f(u3)]$ non ho idea di come si faccia a vedere
4)*Correzione, lo so fare.
5)Non ho idea di come si faccia.
6)Dunque, io so che un vett u è controimmagine di v $<=> Au = v$
Di conseguenza, v non ha controimmagine $ <=> Au != v$ per ogni $u$
A questo punto come procedo
Grazie in anticipo.
tra non molto dovrò dare l'esame di geometria e algebra, e, ahimè, non sono proprio a buon punto. L'esercizio principale dello scritto è molto simile a quello riportato di seguito, metà so svolgerlo, l'altra metà no (o almeno non ne sono sicuro). Ho scritto l'esercizio con i vari punti e per ogni punto ho scritto come si risolve.
Quanlcuno più saggio ed esperto di me in materia, potrebbe gentilmente aiutarmi per favore?
Scrivo l'esercizio:
Sia $f : R3 -> R3$
l'endomorfsmo defnito da:
$f((x; y; z)) = (x - 2y + 3z; -2x + 4y - 6z; x - 2y + 3z)$
$A$ = $((1,-2,1),(-2,4,-2),(3,-6,3))$
(1) Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ e $Im(f)$.
(2) Determinare le immagini tramite $f$ dei vettori
$u1 = (2h + 1)e2; u2 = he1 + he2 + 3e3; u3 = 3e1 - 3e2 + he3;$
essendo $E = (e1; e2; e3)$ la base canonica di $R3$ e h un parametro reale;
(3) Trovare, se esistono, i valori del parametro h per i quali $[u1; u2; u3]$ sia una base di $R3$
e quelli per i quali $[f(u1); f(u2); f(u3)]$ sia una base di $R3$.
(4) Determinare la controimmagine del vettore $v = (¡4; k + 3; k ¡ 9)$, al variare del parametro reale $k$.
(5) Posto $X = t$
$(x y z)$ e indicata con $A$ la matrice tale che $f^t$$((x; y; z)) = AX$ , stabilire se $A$
risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la
corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile.
6)Esibire, se esiste, un vettore di $R3$ privo di controimmagine.
Dunque:
1)Inutile dirlo, la cosa più semplice, la so fare.
2)Faccio
$A$ x $((0,h,3),(h+1,2,-3),(0,3,h))$ = $M$
Le colonne di M sono le immagini tramite $f$ dei vettori $u1, u2 e u2$, ovviamente per $h : det M != 0$
3)$[u1, u2, u3]$ è una base di $R³$ se e solo se la matrice
$((0,h,3),(h+1,2,-3),(0,3,h))$
ha rango 3 (cioè determinante ≠ 0), quindi vedo per quale h accade.
Invece per $[f(u1), f(u2), f(u3)]$ non ho idea di come si faccia a vedere
4)*Correzione, lo so fare.
5)Non ho idea di come si faccia.
6)Dunque, io so che un vett u è controimmagine di v $<=> Au = v$
Di conseguenza, v non ha controimmagine $ <=> Au != v$ per ogni $u$
A questo punto come procedo
Grazie in anticipo.
Risposte
I primi punti mi sembrano corretti, anche se non ho verificato eventuali calcoli.
- Per il punto 3) per determinare per quali valori di $h$ $[f(u_1), f(u_2), f(u_3)]$ è una base potresti verificare che questi vettori siano linearmente indipendenti.
- Per il punto 5) non ho ben capito cosa sono $X$ e $t$. Poi per il resto dovresti trovare (se non erro) una base di autovettori in modo che l'applicazioni sia diagonalizzabile.
- Per il punto 6) io proverei a ragionare con l'applicazione inversa.
- Per il punto 3) per determinare per quali valori di $h$ $[f(u_1), f(u_2), f(u_3)]$ è una base potresti verificare che questi vettori siano linearmente indipendenti.
- Per il punto 5) non ho ben capito cosa sono $X$ e $t$. Poi per il resto dovresti trovare (se non erro) una base di autovettori in modo che l'applicazioni sia diagonalizzabile.
- Per il punto 6) io proverei a ragionare con l'applicazione inversa.
"Emar":
I primi punti mi sembrano corretti, anche se non ho verificato eventuali calcoli.
- Per il punto 3) per determinare per quali valori di $h$ $[f(u_1), f(u_2), f(u_3)]$ è una base potresti verificare che questi vettori siano linearmente indipendenti.
- Per il punto 5) non ho ben capito cosa sono $X$ e $t$. Poi per il resto dovresti trovare (se non erro) una base di autovettori in modo che l'applicazioni sia diagonalizzabile.
- Per il punto 6) io proverei a ragionare con l'applicazione inversa.
Ti ringrazio della risposta, ma non ho ben capito.
3) Io lo verifico già con la matrice, vedo quando il rango è 3, quindi che cambia tra u e f(u)?
5)So vedere se è diagonizzabile, ma non so trovare "P diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D alla quale A risulta essere simile".
6)Non ho capito.
Non è che potresti scendere un po' più nel dettaglio please?
"nostradamus1915":
3) Io lo verifico già con la matrice, vedo quando il rango è 3, quindi che cambia tra u e f(u)?
Bisogna chiarire cosa è $\mathbf{M}$. $\mathbf{M}$ è $[\mathbf{u_1},\mathbf{u_2},\mathbf{u_3}]$ oppure è la matrice $[f(\mathbf{u_1}),f(\mathbf{u_2}),f(\mathbf{u_3})]$ ovvero $[\mathbf{A}\mathbf{u_1},\mathbf{A}\mathbf{u_2},\mathbf{A}\mathbf{u_3}]$?
"nostradamus1915":
5) So vedere se è diagonizzabile, ma non so trovare "P diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D alla quale A risulta essere simile".
Se sai che è diagonalizzabile quando esiste una base di autovettori, cosa succede alla matrice se la rappresenti rispetto a questa base di autovettori? La risposta a questa domanda è la chiave
"nostradamus1915":
6)Non ho capito.
Lascia stare credo fosse un consiglio poco utile. In realtà al momento mi viene da ragionare così. Un elemento $w \in Y$, dove $Y$ è il codominio, per avere controimmagine dev'essere che $f(v) = w$ per qualche $v$. Ciò vuol dire che $w$ ha controimmagine equivale a dire che $w \in Im(f)$. Quindi prendendo un elemento di $Y\\Im(f)$ dovresti aver trovato un elemento che non ha controimmagine.
Saluti
3) $M$ penso che sia $[u1,u2,u3]$ e verifico per quali $h$ ha $det!=0$, per $[f(u1),f(u2),f(u3)]$ ovvero $[Au1,Au2,Au3]$ come faccio?
5) Ci devo ragionare un po'.
6) Credo di aver capito, devo trovare un qualsiasi vettore che non appartenga all'immagine della matrice corrispondente all'endomorfismo, is that right?
5) Ci devo ragionare un po'.
6) Credo di aver capito, devo trovare un qualsiasi vettore che non appartenga all'immagine della matrice corrispondente all'endomorfismo, is that right?
"nostradamus1915":
3) ...per $[f(u1),f(u2),f(u3)]$ ovvero $[Au1,Au2,Au3]$ come faccio?
Trasforma ogni vettore $\mathbf{u_i}$ attraverso l'endomorfismo e otterrai una terna di vettori $\mathbf{w_i} = \mathbf{A}\mathbf{u_i}$. Mettili in una matrice e poni il determinante diverso da zero!
"nostradamus1915":
5) Ci devo ragionare un po'.
Se provi a fare un esempio concreto ti salterà subito agli occhi!
"nostradamus1915":
6) Credo di aver capito, devo trovare un qualsiasi vettore che non appartenga all'immagine della matrice corrispondente all'endomorfismo, is that right?
E' proprio quello che intendevo (insiemisticamente parlando)
Ok allora, c'è un problema. Siamo sicuri che i calcoli siano quelli?
2)Le colonne di M sono le immagini tramite f dei vettori $u1,u2, u2$ per $h:detM≠0$ o $h:detM=detA$ ? Per vedere se il determinante di tutta la matrice è $!=0$ vengono dei calcoli a dir poco mastodontici.
Stessa cosa per il 3), la prima parte è abbastanza fattibile, ma per la seconda vengono anche qui calcoli mastodontici di decine di righe (semplici ma che comunque richiedono parecchio tempo).
6)Ho provato a farlo, dunque:
$det A = 1$ $=>$ $DimImf=1$
$Im f = (1,-2,3)$
Vettore che non appartiene a $Im f$ $=>$ $x-2y+3z!=0$ $=>$ es. $(3,1,1)$
Right?
2)Le colonne di M sono le immagini tramite f dei vettori $u1,u2, u2$ per $h:detM≠0$ o $h:detM=detA$ ? Per vedere se il determinante di tutta la matrice è $!=0$ vengono dei calcoli a dir poco mastodontici.
Stessa cosa per il 3), la prima parte è abbastanza fattibile, ma per la seconda vengono anche qui calcoli mastodontici di decine di righe (semplici ma che comunque richiedono parecchio tempo).
6)Ho provato a farlo, dunque:
$det A = 1$ $=>$ $DimImf=1$
$Im f = (1,-2,3)$
Vettore che non appartiene a $Im f$ $=>$ $x-2y+3z!=0$ $=>$ es. $(3,1,1)$
Right?
N0b0dy?
Per favore, non c'è nessuno che possa darmi una mano? L'esame è tra poco 
Per i calcoli mastodontici non so che dire. Per quanto riguarda l'ultimo risultato, non l'ho verificato, ma il procedimento sembra corretto.
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