Aiuto per impostazione problema su endomorfismo
Ciao a tutti, mi serve il vostro aiuto per capire come impostare un esercizio:
Sia g: $RR^2$ $->$ $RR^2$ l'unico endomorfismo che soddisfa le due condizioni che seguono:
1) i vettori $(1,1,0)$ e $(0,1,1)$ sono autovettori di autovalore $4$
2) $<(-3,0,0)>$ $sube$ $Kerg$
Si determini $g(x1,x2,x3)$
...
questo è l'unico punto dell'esercizio che non so impostare, e giustamente se non imposto questo non posso fare niente. Mi potete aiutare? sono disperata!
Sia g: $RR^2$ $->$ $RR^2$ l'unico endomorfismo che soddisfa le due condizioni che seguono:
1) i vettori $(1,1,0)$ e $(0,1,1)$ sono autovettori di autovalore $4$
2) $<(-3,0,0)>$ $sube$ $Kerg$
Si determini $g(x1,x2,x3)$
...
questo è l'unico punto dell'esercizio che non so impostare, e giustamente se non imposto questo non posso fare niente. Mi potete aiutare? sono disperata!
Risposte
Ma spiegami una cosa... se $L$ è un endomorfismo di $RR^2$ come fanno i vettori ad essere di $RR^3$?
Niente niente che fosse $L:RR^3->RR^3$?
Niente niente che fosse $L:RR^3->RR^3$?
Ho capito credo, ma vorrei che qualcuno mi dicesse se il ragionamento è giusto:
allora parto da cosa so:
-ogni elemento che appartiene a kerg per definizione ha immagine nulla
-gli autovettori hanno per immagine se stessi moltiplicati per l'autovalore
detto questo dovrei solo sfruttare quanto detto sopra per calcolare le immagini rispetto la base canonica e quindi di ho ricavato la g.
E' giusto?
allora parto da cosa so:
-ogni elemento che appartiene a kerg per definizione ha immagine nulla
-gli autovettori hanno per immagine se stessi moltiplicati per l'autovalore
detto questo dovrei solo sfruttare quanto detto sopra per calcolare le immagini rispetto la base canonica e quindi di ho ricavato la g.
E' giusto?
Assumo che sia $L:RR^3->RR^3$ visto che non rispondi.
Hai tre vettori linearmente indipendenti che quindi formano una base di $RR^3$
Poni $B={(1,1,0),(0,1,1),(-3,0,0)}$
Visto che è una base puoi scrivere ogni vettore di $RR^3$ come combinazione lineare di quei tre vettori
Quindi
Hai tre vettori linearmente indipendenti che quindi formano una base di $RR^3$
Poni $B={(1,1,0),(0,1,1),(-3,0,0)}$
Visto che è una base puoi scrivere ogni vettore di $RR^3$ come combinazione lineare di quei tre vettori
$(x,y,z)=(y-z)(1,1,0)+z(0,1,1)+(y-x-z)/3 (-3,0,0)$
Quindi
[size=80]$L(x,y,z)=(y-x)L(1,1,0)+zL(0,1,1)+(y-z-x)/3 L(-3,0,0)$[/size]
dalle ipotesi
[size=90]$L(x,y,z)=4(y-z)(1,1,0)+4z(0,1,1)=4(y-z,y,z)$[/size]
dalle ipotesi
[size=90]$L(x,y,z)=4(y-z)(1,1,0)+4z(0,1,1)=4(y-z,y,z)$[/size]
"anto_zoolander":
Ma spiegami una cosa... se $L$ è un endomorfismo di $RR^2$ come fanno i vettori ad essere di $RR^3$?
Niente niente che fosse $L:RR^3->RR^3$?
Avevo solo sbagliato a scrivere!
"anto_zoolander":
Assumo che sia $ L:RR^3->RR^3 $ visto che non rispondi.
Hai tre vettori linearmente indipendenti che quindi formano una base di $ RR^3 $
Poni $ B={(1,1,0),(0,1,1),(-3,0,0)} $
Visto che è una base puoi scrivere ogni vettore di $ RR^3 $ come combinazione lineare di quei tre vettori
$ (x,y,z)=(y-z)(1,1,0)+z(0,1,1)+(y-x-z)/3 (-3,0,0) $
Quindi[size=80]$ L(x,y,z)=(y-x)L(1,1,0)+zL(0,1,1)+(y-z-x)/3 L(-3,0,0) $[/size]
dalle ipotesi
[size=90]$ L(x,y,z)=4(y-z)(1,1,0)+4z(0,1,1)=4(y-z,y,z) $[/size]
Grazie, ho fatto come come ho scritto sopra e mi trovo esattamente come mi ha scritto tu ora
Ciao, avrei una piccola domanda/dubbio. in questo esercizio mi si chiede alla fine di calcolare la matrice D di g associata ad una base di autovettori, fatto ovviamente, ma poi mi chiede di mostrare, se esiste una matrice 3x3 non simile a questa D.
Ecco, io so che:
-2 matrici sono simili quando hanno determinante, rango e autovalori uguali
-nel caso di endomorfismo due matrici che lo rappresentano rispetto due basi diverse sono necessariamente simili per la il teorema del cambiamento di base
Io ho preso per provare la matrice $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$ come tentativo perchè la prima volta che mi si chiede di matrici simili e ho verificato che rispetto a D il rango e il determinante sono diversi, per gli autovalori invece ne hanno uno in comune e l'altro diverso, la devo considerare quindi simile?
Ecco, io so che:
-2 matrici sono simili quando hanno determinante, rango e autovalori uguali
-nel caso di endomorfismo due matrici che lo rappresentano rispetto due basi diverse sono necessariamente simili per la il teorema del cambiamento di base
Io ho preso per provare la matrice $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$ come tentativo perchè la prima volta che mi si chiede di matrici simili e ho verificato che rispetto a D il rango e il determinante sono diversi, per gli autovalori invece ne hanno uno in comune e l'altro diverso, la devo considerare quindi simile?
La matrice $D=((4,0,0),(0,4,0),(0,0,0))$ a meno di permutazione dei blocchi è la matrice diagonale associata all’endomorfismo.
Il suo determinante è $0$ e due matrici simili hanno lo stesso determinante quindiper esempio la matrice identica ha determinante $1ne0$ quindi non può essere simile a $D$
Il suo determinante è $0$ e due matrici simili hanno lo stesso determinante quindiper esempio la matrice identica ha determinante $1ne0$ quindi non può essere simile a $D$
Grazie
Non ho capito niente delle domande che ponevi Valery!
Però mi sono divertito a indurre l'intera scomposizione, postane altri!
$A=[ ( 0 , 4 , -4 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ] = [ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ]*[ ( 4 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ]*[ ( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ) ]$
Però mi sono divertito a indurre l'intera scomposizione, postane altri!
$A=[ ( 0 , 4 , -4 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ] = [ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ]*[ ( 4 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ]*[ ( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ) ]$
"Valery Beauchamp":
ma poi mi chiede di mostrare, se esiste una matrice 3x3 non simile a questa D.
Come hai detto tu matrici simili hanno autovalori uguali. Ti consiglio di concentrarti solo su questo aspetto, dato che è LA definizione di matrice simile. Infatti ci sono matrici con rango uguale e determinante uguale ma che hanno autovalori diversi.
Quindi la risposta è "si ne esistono un'infinità"
Quante matrici simili esistono invece? Beh anche in questo caso un'infinità.
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