Aiuto per esercizio di algebra lineare

[asterix22]

Ciao! Ho bisogno di aiuto per questo esercizio

Si consideri l'applicazione lineare
g : R^3 --> R^3, (x, y, z) --> (x - y, x - z, y - z)

1) Scrivere la matrice associata a g rispetto alle base naturale dello spazio vettoriale in questione;
2) Si calcolino gli autovalori e gli autovettori associati agli autovalori della matrice associata, se essa lo permette (motivare).

Grazie anticipatamente.

[_Tipper]

Per il punto 1) ti basta trovare una matrice $A$ $3 \times 3$ a coefficienti reali (in questo caso sono pure interi) tali che

$A ((x),(y),(z)) = ((x - y),(x - z),(y - z))$

Poi per trovare gli autovalori calcoli prima $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$, dopodiché ti calcoli le radici di $p(\cdot)$ (i.e. risolvi $p(\lambda) = 0$). Le soluzioni reali di tale equazione sono gli autovalori di $g$.

Dove trovi difficoltà?

[asterix22]

Il mio problema non è il procedimento, quanto la risoluzione vera e propria, perché trovo un unico autovalore reale pari a zero e non sono sicuro che sia esatto. Potresti illustrami i singoli passaggi per ricavare prima gli autovettori associati e poi gli autospazi ad essi relativi?

Ti sono grato in anticipo

[_Tipper]

Da un calcolo veloce anche a me risulta che $0$ sia l'unico autovalore. Per determinare gli autovettori relativi a $0$ imposta il sistema $A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$ ed inserisci un parametro libero (puoi porre $z = \alpha$, ad esempio).