Aiuto per esercizi di Geometria e algebra.
Ciao ragazzi avrei bisogno di un aiuto in vista di un esame su quesiti credo semplici, ma su cui sono ancora insicuro, vi riporto di seguito gli esercizi:
Si considerino le matrici a coefficienti reali
____(1 2 0)_______( -1__0___0)
A=_(2 1 0)_____B=( 0__9-ß__0)
____(0 0 3)_______( 0__0_-ß-8)
a)Si dica per quali valori di ß appartenenti a R la matrice B ha gli stessi autovalori di A.
b)Si dica per quali valori di ß appartenenti a R la matrice B è congruente ad A.
Grazie in anticipo a chi mi darà un aiuto...
Si considerino le matrici a coefficienti reali
____(1 2 0)_______( -1__0___0)
A=_(2 1 0)_____B=( 0__9-ß__0)
____(0 0 3)_______( 0__0_-ß-8)
a)Si dica per quali valori di ß appartenenti a R la matrice B ha gli stessi autovalori di A.
b)Si dica per quali valori di ß appartenenti a R la matrice B è congruente ad A.
Grazie in anticipo a chi mi darà un aiuto...
Risposte
Perfavore qualcuno riesce a darmi una manina su quest'esercizio?
E' che le matrici scritte così sono fastidiose... riscrivo io:
$A=((1,2,0), (2,1,0), (0,0,3)), B=((-1,0,0), (0, 9-beta,0), (0,0,-beta-8))$.
Per le prossime volte: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Comunque, questo esercizio non è molto difficile. Per gli autovalori, si tratta di fare due conti, trovare gli autovalori di $A$ e vedere quando sono uguali a quelli di $B$...nota: gli autovalori di $B$ li conosciamo subito senza fare conti.
Per la congruenza la storia è altrettanto semplice. Che dice il teorema di Sylvester? Due matrici reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Qual'è la segnatura di $A$? E quella di $B$ in funzione di $beta$?
$A=((1,2,0), (2,1,0), (0,0,3)), B=((-1,0,0), (0, 9-beta,0), (0,0,-beta-8))$.
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Comunque, questo esercizio non è molto difficile. Per gli autovalori, si tratta di fare due conti, trovare gli autovalori di $A$ e vedere quando sono uguali a quelli di $B$...nota: gli autovalori di $B$ li conosciamo subito senza fare conti.
Per la congruenza la storia è altrettanto semplice. Che dice il teorema di Sylvester? Due matrici reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Qual'è la segnatura di $A$? E quella di $B$ in funzione di $beta$?
Io considererei i polinomi caratteristici delle due matrici:
$p_A(t)=(1-t)(1-t)(3-t)-4(3-t)=(3-t)((1-t)^2-4)=(3-t)(-3-2t+t^2)=-9-6t+3t^2+3t+2t^2-t^3=-t^3+5t^2-3t-9=0 rArr t^3-5t^2+3t+9=(t+1)(t-3)^2=0 rArr spec(f)={-1,3}$
$p_B(t)=(-1-t)(9-\beta-t)(-\beta-8-t)=(-9+\beta+(\beta-8)t + t^2)(-\beta-8-t)=-t^3+16t^2-t(\beta^2-\beta-7)-\beta^2+\beta+72$
Ora devi considerare per quali $\beta$ le soluzioni di $p_B(t)=0$ sono ${-1,3}$.
$p_A(t)=(1-t)(1-t)(3-t)-4(3-t)=(3-t)((1-t)^2-4)=(3-t)(-3-2t+t^2)=-9-6t+3t^2+3t+2t^2-t^3=-t^3+5t^2-3t-9=0 rArr t^3-5t^2+3t+9=(t+1)(t-3)^2=0 rArr spec(f)={-1,3}$
$p_B(t)=(-1-t)(9-\beta-t)(-\beta-8-t)=(-9+\beta+(\beta-8)t + t^2)(-\beta-8-t)=-t^3+16t^2-t(\beta^2-\beta-7)-\beta^2+\beta+72$
Ora devi considerare per quali $\beta$ le soluzioni di $p_B(t)=0$ sono ${-1,3}$.
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