Aiuto per algebra lineare

[Danius1]

Per prima cosa salve a tutti è da molto che seguo questo forum ma non avevo ancora mai partecipato attivamente.

Vorrei porvi una domanda riguardo ad algebra lineare.
Supponendo di avere la seguente matrice:

C=
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0

La traccia di un vecchio esame mi dice:
1)Trovare Ma,p (Fc) dove A={e1+e2,e3,e2,e4} e P={e1,e3,e2,e4}
2)Dire quali sono gli autovalori di C, le loro molteplicità algebriche e geometriche e dire se C è diagonalizzabile.

Potete gentilmente darmi una mano a capire cosa devo fare ...
Vi ringrazio in anticipo
A presto

[Lord K]

Non si comprende molto bene cosa chiedi nel punto 1) e ti invito a guardare il link:

https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

per scrivere in maniera leggibile il tutto. Detto ciò ti dò il benvenuto nel forum e passo alla risposta del punto 2)

Allora gli autovalori si possono determinare semplicemente con le radici del polinomio caratteristico, ovvero computando il determinante:

$P(t)=det(C-t*Id_n)$

che in questo caso risulta:

$P(t)=|(1-t,0,0,0),(0,-t,1,1),(0,1,-t,1),(0,0,0,-t)|$

Sviluppo mediante Laplace sulla prima riga.

$P(t)=(t-1)t^3$

Da qui gli autovalori sono $1$ con molteplicità algebrica $1$ e $0$ con molteplicità algebrica $3$, la molteplicità geometrica, invece, è la dimensione dell'autospazio relativo ai rispettivi autovettori.

$A_1$:

$((0,0,0,0),(0,-1,1,1),(0,1,-1,1),(0,0,0,-1))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) = 0_4$

${(-x_2+x_3+x_4=0),(x_2-x_3+x_4=0),(-x_4=0):}$

che è generato da:

$v_1=(1,0,0,0)$, $v_2=(0,1,1,0)$

ovvero la molteplicità geometrica dell'autovalore $1$ è $2$

$A_0$:

$((1,0,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,0,0,0))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) = 0_4$

${(x_1=0),(x_3+x_4=0),(x_2+x_4=0):}$

che è generato da:

$w_1=(0,1,1,-1)$

ovvero la molteplicità geometrica dell'autovalore $0$ è $1$