Aiuto matrice e autospazi

[oabkito]

Ciao ragazzi volevo chiedervi una mano su questo esercizio:
Determinare gli autospazi della matrice
A= 3 -2 0
1 0 0
0 1 0

E' vero che A^3 appartiene a L(1,A,A^2) ?
Se si determinare le coordinate di A^3 rispetto ad una base fissata dello spazio vettoriale L(1,A,A^2)

il problema sta nel fatto che non so come fare la verifica dell'appartenenza e del deteeminare le coordinate.
per quanto riguarda la matrice A^3 dovrebbe essere questa:
-39 22 0
11 -6 0
-3 2 0

in attesa di risposta spero in un vostro aiuto

[Riccardo Desimini]

"pablito92":per quanto riguarda la matrice A^3 dovrebbe essere questa:
-39 22 0
11 -6 0
-3 2 0

No. La matrice corretta è
\[ A^3 = \begin{pmatrix} 15 & -14 & 0 \\ 7 & -6 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]
Per quanto riguarda l'appartenenza a \( \mathcal{L}\, (I,\, A,\, A^2) \), la prima cosa che viene in mente è verificare se esistono coefficienti \( a_1,\, a_2,\, a_3 \in \mathbb{K} \) tali per cui
\[ a_1 I + a_2\, A + a_3\, A^2 = A^3 \]

[Sk_Anonymous]

Si può risparmiare qualche calcolo ( trovando solo \(\displaystyle A^2 \)) ricordando che la matrice A è radice del polinomio caratteristico che nel nostro caso è :
\(\displaystyle \lambda^3-3\lambda^2+2\lambda=0 \)
Pertanto risulta :
\(\displaystyle A^3-3A^2+2A=0\cdot I_3 \)
da cui :
(1) \(\displaystyle A^3=3A^2-2A+0\cdot I_3\)
Ovvero :
\(\displaystyle A^3=3\cdot \begin {pmatrix}7&-6&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix} -2\cdot\begin {pmatrix}3&-2&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}+0\cdot \begin {pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin {pmatrix}15&-14&0\\7&-6&0\\3&-2&0\end{pmatrix} \)
Inoltre la (1) ci permette di calcolare anche il vettore coordinato di \(\displaystyle A^3 \) rispetto alla base indicata. Tale vettore come si vede dalla (1) è : \(\displaystyle (0,-2,3) \)

[oabkito]

ma come è che arrivi a:

\displaystyle \lambda^3-3\lambda^2+2\lambda=0

[oabkito]

Ma come arrivi a

"ciromario":
\(\displaystyle \lambda^3-3\lambda^2+2\lambda=0 \)

[Riccardo Desimini]

"pablito92":Ma come arrivi a
[quote="ciromario"]
\(\displaystyle \lambda^3-3\lambda^2+2\lambda=0 \)

[/quote]
\[ p_A\, (\lambda) = \det\, (A - \lambda\, I) = (-\lambda)\, [(3-\lambda)\, (-\lambda) + 2] = (- \lambda)\, (\lambda^2 - 3 \lambda + 2) = \lambda^3-3 \lambda^2 + 2 \lambda \]

[oabkito]

e il motivo teorico di come si arrivi a questa formula qual'è?

[Riccardo Desimini]

"pablito92":e il motivo teorico di come si arrivi a questa formula qual'è?

Sia \( f : V \rightarrow V \) un endomorfismo su \( V \). Per definizione, \( \lambda \) è autovalore per \( f \) se esiste un vettore \( \mathbf{v} \in V,\ \mathbf{v} \ne \mathbf{0} \) tale per cui si abbia
\[ f\, (\mathbf{v}) = \lambda\, \mathbf{v} \]
Ciò equivale a richiedere che
\[ f\, (\mathbf{v}) - \lambda\, \mathbf{v} = \mathbf{0} \]
Definendo l'applicazione
\[ \begin{matrix} f - \lambda\, \mathbf{1}_V : V \rightarrow V \\ f - \lambda\, \mathbf{1}_V : \mathbf{v} \mapsto f\, (\mathbf{v}) - \lambda \mathbf{v} \end{matrix} \]
possiamo interpretare la condizione nel modo seguente:
\[ f\, (\mathbf{v}) - \lambda\, \mathbf{v} = \mathbf{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{v} \in \ker\, (f - \lambda\, \mathbf{1}_V) \]
Ma essendo \( \mathbf{v} \ne \mathbf{0} \), ciò equivale a chiedere che \( f - \lambda\, \mathbf{1}_V \) non sia iniettiva (e quindi non invertibile).

D'altra parte, se \( f - \lambda\, \mathbf{1}_V \) non è invertibile allora non è neanche iniettiva (ciò segue immediatamente dal teorema del rango) e quindi esiste \( \mathbf{v} \ne \mathbf{0} \) tale per cui si ha \( f(\mathbf{v}) = \lambda\, \mathbf{v} \) e \( \lambda \) è in tal caso autovalore per \( f \) .

Dunque \( \lambda \) è autovalore per \( f \) se e solo se l'applicazione \( f - \lambda\, \mathbf{1}_V \) non è invertibile.

Sia ora \( B \) una base di \( V \). La matrice associata a \( f - \lambda\, \mathbf{1}_V \) rispetto alla base \( B \) è
\[ M_B\, (f - \lambda\, \mathbf{1}_V) = M_B\, (f) - \lambda\, M_B (\mathbf{1}_V) = A - \lambda\, I \]
Dunque la condizione di non invertibilità di \( f - \lambda\, \mathbf{1}_V \) equivale a quella di non invertibilità della sua matrice associata, cioè
\[ \det\, (A - \lambda\, I) = 0 \]
Poiché \( \det\, (A - \lambda\, I) \) è un polinomio in \( \lambda \), tale scrittura prende il nome di polinomio caratteristico di \( A \) e si denota con \( p_A (\lambda) \).

Alla luce della discussione appena fatta, emerge che \( \lambda \) è autovalore per \( f \) se e solo se è radice del polinomio caratteristico di \( A \).