Aiuto matrice diagonalizzante
Ciao a tutti.
Ho questo esercizio:
Dimostrare che la matrice è diagonalizzabile, trovare una matrice S tale che SAS^-1 è diagonale.
$ {: ( 1 , 2 , 0 , 4 ),( 0 , 2 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) :} $
Bene, la matrice è ovviamente diagonalizzabile in quanto triangolare (4 autovalori). Ma come diavolo determino la matrice diagonalizzante? Ho provato con la risoluzione di Ax=Lx (L autovalori di A) ma niente, ho bisogno un procedimento 'generico' per riuscire a determinarla!
Aiuto
!
Ho questo esercizio:
Dimostrare che la matrice è diagonalizzabile, trovare una matrice S tale che SAS^-1 è diagonale.
$ {: ( 1 , 2 , 0 , 4 ),( 0 , 2 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) :} $
Bene, la matrice è ovviamente diagonalizzabile in quanto triangolare (4 autovalori). Ma come diavolo determino la matrice diagonalizzante? Ho provato con la risoluzione di Ax=Lx (L autovalori di A) ma niente, ho bisogno un procedimento 'generico' per riuscire a determinarla!
Aiuto
!
Risposte
"Kappagibbi":
Dimostrare che la matrice è diagonalizzabile, trovare una matrice S tale che SAS^-1 è diagonale.
$ ((1,2,0,4),(0,2,3,1),(0,0,3,0),(0,0,0,3))$
La matrice ha autovalori 1 (molt.alg.= 1) , 2 (molt.alg.= 1) , 3 (molt.alg.= 2).
Per dimostrare che è diagonalizzabile devi analizzare l'autospazio relativo
all'autovalore $\lambda = 3$: devi trovare un autospazio di dimensione = 2.
Grazie Francesco,ma il mio problema è trovare la matrice diagonalizzante !
!
"Kappagibbi":"Ovviamente"... non tanto. Prendi $A=((0, 1), (0, 0))$ che è triangolare. Tu dici che è diagonalizzabile? Mi sa di no: gli autovalori di $A$ sono $0$ e $0$ ($0$ con molteplicità algebrica $2$), quindi se fosse diagonalizzabile sarebbe simile a $((0, 0), (0, 0))$, e l'unica matrice simile alla matrice nulla è la matrice nulla.
Bene, la matrice è ovviamente diagonalizzabile in quanto triangolare
(4 autovalori).Io ne ho contati solo tre, veramente.
Ecco una base di autovettori:
$(1,0,0,0)^T$
$(2,1,0,0)^T$
$(3,1,0,1)^T$
$(0,2,1,-1)^T$
$(1,0,0,0)^T$
$(2,1,0,0)^T$
$(3,1,0,1)^T$
$(0,2,1,-1)^T$
Si sono tre, l'autovalore 3 è di molt algebrica 2.
Prima di scrivere, un piccolo "ante" scriptum:
Fossi in voi, questa ironia penosamente quattrocchi e cameratesca la lascerei da parte. Non arrabbiatevi, sono alle prime armi , e forse imparerò. E chissà, magari con un certo successo!
Ad ogni modo, vorrei capire come trovare la matrice diagonalizzante, quindi la base di autovettori che Franced (che ringrazio infinitamente) mi ha proposto.
Ho provato a costruire gli autospazi risolvendo i sis lineari e a tirarne fuori una base di autovettori da porre in matrice ma.. Ho beccato una matrice identità :S (ovviamente non diagonalizzante :'()
Ad ogni modo, grazie mille per la mano
Prima di scrivere, un piccolo "ante" scriptum:
Fossi in voi, questa ironia penosamente quattrocchi e cameratesca la lascerei da parte. Non arrabbiatevi, sono alle prime armi , e forse imparerò. E chissà, magari con un certo successo!
Ad ogni modo, vorrei capire come trovare la matrice diagonalizzante, quindi la base di autovettori che Franced (che ringrazio infinitamente) mi ha proposto
.Ho provato a costruire gli autospazi risolvendo i sis lineari e a tirarne fuori una base di autovettori da porre in matrice ma.. Ho beccato una matrice identità :S (ovviamente non diagonalizzante :'()
Ad ogni modo, grazie mille per la mano
Grazie mille Sergio, sei stato chiarissimo, sbagliavo semplicemente qualche calcolo nella risoluzione dei sistemi lineari.
Perdona il basso ph della scorsa risposta, sono sotto esame e molto nervoso, in altre circostante non vi avrei mai risposto così.
Grazie ancora (lo so lo so, sono una capra
!)
Perdona il basso ph della scorsa risposta, sono sotto esame e molto nervoso, in altre circostante non vi avrei mai risposto così.
Grazie ancora (lo so lo so, sono una capra
!)
Ragazzi rieccomi a dare i numeri :'(.
Ho risolto il sistema per gli autovalori 1 e 2 ricavando le basi da voi fornite.. Ora il problema si è spostato sull'autovalore 3 (voglio morire)!
Ricavo la matrice:
$ (A-3I)=({: (-2,2,0,4),(0,-1,3,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0) :})$
E costruisco il sistema (immediatamente risolvibile) con soluzioni:
$ Aut(3)= ( r(3,3,1,0)+ t(3,1,0,1) per ogni r,t in R ) $
(3,3,1,0) e (3,1,0,1) sono una base per Aut(3), ho costruito la matrice:
$ S=({: (1,2,3,3),(0,1,3,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) :}) $
Cercato l'inversa e ... NULLA DI FATTO :'(
Visto che i vettori di franced base di Aut(3) sono diversi dai miei.. Suppongo che l'errore stia in quei maledetti autovettori base di Aut(3).. Cosa cavolo sbaglio? :'(
Ho risolto il sistema per gli autovalori 1 e 2 ricavando le basi da voi fornite.. Ora il problema si è spostato sull'autovalore 3 (voglio morire)!
Ricavo la matrice:
$ (A-3I)=({: (-2,2,0,4),(0,-1,3,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0) :})$
E costruisco il sistema (immediatamente risolvibile) con soluzioni:
$ Aut(3)= ( r(3,3,1,0)+ t(3,1,0,1) per ogni r,t in R ) $
(3,3,1,0) e (3,1,0,1) sono una base per Aut(3), ho costruito la matrice:
$ S=({: (1,2,3,3),(0,1,3,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) :}) $
Cercato l'inversa e ... NULLA DI FATTO :'(
Visto che i vettori di franced base di Aut(3) sono diversi dai miei.. Suppongo che l'errore stia in quei maledetti autovettori base di Aut(3).. Cosa cavolo sbaglio? :'(
Un solo commento, sono uno scemo 
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"Sergio":
... Qualsiasi spazio vettoriale ha infinite basi, quindi puoi associare ad un autovalore di molteplicità geometrica 2 infinite coppie di autovettori. Franced ha solo ridotto la prima coppia che si trova, che è quella che hai trovato tu - e che va bene lo stesso.
Lo dico sempre ai miei studenti: se trovate risultati diversi non significa necessariamente che qualcuno ha sbagliato!
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