Aiuto geometria!
Salve sono nuovo del forum, vi allego tre esercizi di geometria, potete gentilmene spiegarmi passo per passo come risolverli? grazie mille 
1) Determinare per quali valori del parametro reale t la matrice (3x3) A(t) = $((t-2,2,2),(0,t+2,0),(0,2,t^2 -4))$
non ha tre autovalori reali a due a due distinti tra loro. Inoltre, per ognuno di tali valori, scrivere gli
autovalori distinti di A(t).
2) Trovare una base per lo spazio U(w, x, y, z) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
w – 2y = w – x + 2y + 3z = 2w – x + 3z = 0. (non cambiare l'ordine delle incognite)
3) Siano A, B e C i punti di intersezione del piano di equazione 2x + y – z + 12 = 0 con gli assi
coordinati X, Y e Z rispettivamente. Determinare l’ortocentro (punto d’incontro delle altezze) del
triangolo ABC.
1) Determinare per quali valori del parametro reale t la matrice (3x3) A(t) = $((t-2,2,2),(0,t+2,0),(0,2,t^2 -4))$
non ha tre autovalori reali a due a due distinti tra loro. Inoltre, per ognuno di tali valori, scrivere gli
autovalori distinti di A(t).
2) Trovare una base per lo spazio U(w, x, y, z) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
w – 2y = w – x + 2y + 3z = 2w – x + 3z = 0. (non cambiare l'ordine delle incognite)
3) Siano A, B e C i punti di intersezione del piano di equazione 2x + y – z + 12 = 0 con gli assi
coordinati X, Y e Z rispettivamente. Determinare l’ortocentro (punto d’incontro delle altezze) del
triangolo ABC.
Risposte
il secondo esercizio lo impostato cosi: riduzione a gradino poi mi sono ricavato w,x,y,z e mi esce (3Z,9Z,(3/2)Z,Z) imponendo Z=2 una base sara costiuia da una quaterna (6,18,3,2). il mio ragionamento e soprattuto i miei calcoli sono giusti?
il primo esercizio ho provato a trovare il determinante della matrice meno lamba *i però non sono sicuro vada bene cosi. qualcuno può svolgermelo e spiegarmi i procedimenti?
grazie mille
il primo esercizio ho provato a trovare il determinante della matrice meno lamba *i però non sono sicuro vada bene cosi. qualcuno può svolgermelo e spiegarmi i procedimenti?
grazie mille
Per quanto riguarda l'esercizio 1, il polinomio caratteristico è semplicemente
$(t-2-\lambda)(t+2-\lambda)(t^2-4-\lambda)=0$
Gli autovalori vengono quindi
$\lambda=t-2$
$\lambda=t+2$
$\lambda=t^2-4$
Si tratta ora di vedere per quali valori di t questi tre autovalori in qualche modo coincidono:
$t-2 = t+2$ non ha soluzioni.
$t+2=t^2-4\Rightarrow t^2-t-6=0$ ha soluzioni $(1\pm 5)/2$, ovvero 3 e -2
$t-2=t^2-4\Rightarrow t^2-t-2=0$ ha soluzioni $(1\pm 3)/2$, ovvero 2 e -1.
$(t-2-\lambda)(t+2-\lambda)(t^2-4-\lambda)=0$
Gli autovalori vengono quindi
$\lambda=t-2$
$\lambda=t+2$
$\lambda=t^2-4$
Si tratta ora di vedere per quali valori di t questi tre autovalori in qualche modo coincidono:
$t-2 = t+2$ non ha soluzioni.
$t+2=t^2-4\Rightarrow t^2-t-6=0$ ha soluzioni $(1\pm 5)/2$, ovvero 3 e -2
$t-2=t^2-4\Rightarrow t^2-t-2=0$ ha soluzioni $(1\pm 3)/2$, ovvero 2 e -1.
Per l'esercizio 2:
Dalle equazioni che hai cerchi di ricavarne alcune in funzione di altre.
${(w – 2y = 0),(w – x + 2y + 3z = 0),(2w – x + 3z = 0):}$
Ottieni:
${(w =2y ),( x = 4y + 3z),(0 = 0):}$
Pertanto una generica base di $U$ è ${(4y+3z,y,z,2y)|y, z in RR}$.
Una base quindi potrebbe essere ${(4,1,0,2),(3,0,1,0)}$.
"lavolpe84":
2) Trovare una base per lo spazio U(w, x, y, z) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
w – 2y = w – x + 2y + 3z = 2w – x + 3z = 0. (non cambiare l'ordine delle incognite)
Dalle equazioni che hai cerchi di ricavarne alcune in funzione di altre.
${(w – 2y = 0),(w – x + 2y + 3z = 0),(2w – x + 3z = 0):}$
Ottieni:
${(w =2y ),( x = 4y + 3z),(0 = 0):}$
Pertanto una generica base di $U$ è ${(4y+3z,y,z,2y)|y, z in RR}$.
Una base quindi potrebbe essere ${(4,1,0,2),(3,0,1,0)}$.
Nel primo esercizio una volta trovato gli autovalori non ho capito cosa devo fare è che valori di t prendere percui la matrice A(t) non ha tre autovalori reali a due a due distinti tra loro.
Per il secondo esercizio quindi non c'e bisogno della riduzione a gradino?
e il terzo esercizio come lo imposto?
Per il secondo esercizio quindi non c'e bisogno della riduzione a gradino?
e il terzo esercizio come lo imposto?
Cosa NON hai capito della mia risoluzione?
Ora ho capito, grazie mille. Puoi darmi qualche consiglio per impostare il terzo esercizio?
"lavolpe84":
Per il secondo esercizio quindi non c'e bisogno della riduzione a gradino?
Questo sistema che ti ho esposto è molto più veloce.
Il metodo di Gauss (con la riduzione a gradini) è consigliato quando non si hanno le equazioni della a.l.
Purtroppo per il 3 esercizio non ti so aiutare.
Ti rispondo dopo cena!
Allora ti scrivo l'algoritmo.
Per prima cosa troviamo i punti A,B,C intersecando il piano da te dato con le rette (x=0,y=0), (x=0,z=0) e (y=0,z=0).
Dopo di che troviamo le rette:
Poi troviamo le tre altezze (rette) p, q, k fatte così
p, passante per A e ortogonale al vettore (B-C)
q, passante per B e ortogonale al vettore (A-C)
k, passante per C e ortogonale a (A-B)
Il punto cercato è l'intersezione tra p, q e k.
Per prima cosa troviamo i punti A,B,C intersecando il piano da te dato con le rette (x=0,y=0), (x=0,z=0) e (y=0,z=0).
Dopo di che troviamo le rette:
Poi troviamo le tre altezze (rette) p, q, k fatte così
p, passante per A e ortogonale al vettore (B-C)
q, passante per B e ortogonale al vettore (A-C)
k, passante per C e ortogonale a (A-B)
Il punto cercato è l'intersezione tra p, q e k.
Una volta trovato A(-6,0,0) ; B(0,-12,0) ; C(0,0,12). Come trovo le rette? e poi le tre altezze, se riesci puoi svolgermi l'esercizio con i valori, grazie mille
Troviamo p passante per A e ortogonale a (B-C)
"lavolpe84":
Una volta trovato A(-6,0,0) ; B(0,-12,0) ; C(0,0,12). Come trovo le rette? e poi le tre altezze, se riesci puoi svolgermi l'esercizio con i valori, grazie mille
Troviamo la retta p passante per A e ortogonale al vettore B-C = (0,-12,-12).
Una qualsiasi retta passante per A si scrive
$(x+6)/(a+6) = y/(b) = z/c$
con a,b,c parametri da determinare. Troviamo un vettore giacente su questa retta.
(x,y,z) appartiene alla retta se e solo se
$1/(a+6) (x+6)= y/b$
$y/b=z/c$
Scriviamo tutto in funzione di un solo parametro (x)
$y=b(x+6)/(a+6)$
$z= (cy)/b = c(x+6)/(a+6)$
quindi
$(x,y,z) = (x,b(x+6)/(a+6), c(x+6)/(a+6))$
che posso scrivere in forma parametrica
$(1, b/(a+6), c/(a+6)) x + (0,(6b)/(a+6),(6c)/(a+6))$.
Quindi la direzione della retta è individuata dal vettore
$(1, b/(a+6), c/(a+6))$
che ora dobbiamo imporre ORTOGONALE al vettore (B-C) = (0,-12,-12). Per far ciò annulliamo il prodotto scalare:
$(1, b/(a+6), c/(a+6)) \cdot (0,-12,-12))=0$
che dà le condizioni
$(-12b)/(a+6)- (12c)/(a+6) = 0$ ovvero b=-c
I parametro a,b sono invece liberi, e poniamo a=0 e b=1. La retta trovata è
$(x+6)/6 = y = -z$
PS. Questa che ho calcolato è una delle altezze del triangolo. Ora bisognerebbe fare lo stesso lavoro con le altre 2 altezze, trovando, con uguale procedimento, la retta passante per B e ortogonale ad A-C, e la retta passante per C ortogonale ad A-B.
Troverai 3 rette, che metterai a sistema....e ti trovi l'unico punto di intersezione $(x_0,y_0,z_0)$, che è l'ortocentro
Troverai 3 rette, che metterai a sistema....e ti trovi l'unico punto di intersezione $(x_0,y_0,z_0)$, che è l'ortocentro
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