Aiuto: Esercizio sui determinanti

[anna_vivarelli]

Ciao, penso che infondo ci sia un modo pressoché banale per risolverlo però da sola non lo trovo...quindi AIUTO!!

Data A = (v1; v2; v3; v4) appartenente a M4*4(C) tale che det(A) = 1 + 2i
calcolare det(B) dove B = (v2 - iv4; v3 - 2v4; 2v1 + iv2; 3v1 - iv3).


Io so:
che cosa sono le permutazioni e solitamente calcolo il loro segno in questo modo:
+1 se sono composizioni di un numero pari di trasposizioni
-1 se sono composizioni di un numero dispari di trasposizioni.
e che per i determinanti valgono queste leggi:
1)Se in una matrice quadrata si sostituisce una colonna (o riga) con se stessa più il multiplo di un'altra colonna (o riga), il valore del determinante non cambia.
2)Se in una matrice quadrata si sostituisce una colonna(o riga) con k volte se stessa, il valore del nuovo determinante risulta k volte il vecchio valore.

In base a ciò avrei risulto il problema in questo modo:
sfruttando la 1) dico che det(B)=det(C), con C=(-iv4, v3, iv2, 3v1)
sfruttando la 2) dico che det(C)=(-i)(i)(3)det(D)=3det(D), con D=(v4, v3, v2, v1)
quindi conto 2 trasposizioni (v1 v4) e (v2 v3) quindi il segno è +
dunque il mio risultato è det(B)=+3*(det(A))=3+6i

Il risultato reale è invece 11+2i...che sbaglio????

[ZeroMemory]

se $A = ( v_1, v_2, v_3, v_4 )$ e $B = (v_2 - iv_4, v_3 - 2v_4, 2v_1 + iv_2, 3v_1 - iv_3)$ allora si può subito dire (non è necessario fare alcun calcolo) che

$ B = A ( ( 0 , 0 , 2 , 3 ),( 1 , 0 , i , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -i ),( -i , -2 , 0 , 0 ) ) $

la matrice numerica al membro di destra ha determinante 3 - 4i. Poiché $det(AB) = det(A)det(B)$ (Binet) possiamo dire che B ha determinante (1 + 2i)(3-4i) = 11 + 2i.

sfruttando la 1) dico che det(B)=det(C), con C=(-iv4, v3, iv2, 3v1)

Attento! Hai ricavato C sommando alle colonne di B delle colonne di A (non corretto), non SOMMANDO ALLE COLONNE DI B COLONNE DI B! (che è invece corretto)

[anna_vivarelli]

Grazie mille!!!