Aiuto esercizio su matrice simmetrica e autospazi
Qualcuno può gentilmente aiutarmi con questo esercizio?
Siano <(1,0,1,0), (2,1,-2,1)> e <(1,0,-1,-4)> autospazi di una matrice simmetrica A. Quanti sono i suoi autovalori distinti? Si determini, se possibile, una base ortonormale di autovettori di A e si dica quante ne esistono, a prescindere dall'ordine.
La risposta alla prima domanda credo sia 2, dato che ogni autospazio corrisponde ad un unico autovalore.
Il problema è la parte dopo: io credo di poter trovare una base ortonormale di autovettori di A, però non so proprio come determinare A in modo che sia simmetrica. Forse se avessi un terzo autospazio riuscirei a trovare una matrice A 4x4, ma con i dati che ho non saprei come fare..
Siano <(1,0,1,0), (2,1,-2,1)> e <(1,0,-1,-4)> autospazi di una matrice simmetrica A. Quanti sono i suoi autovalori distinti? Si determini, se possibile, una base ortonormale di autovettori di A e si dica quante ne esistono, a prescindere dall'ordine.
La risposta alla prima domanda credo sia 2, dato che ogni autospazio corrisponde ad un unico autovalore.
Il problema è la parte dopo: io credo di poter trovare una base ortonormale di autovettori di A, però non so proprio come determinare A in modo che sia simmetrica. Forse se avessi un terzo autospazio riuscirei a trovare una matrice A 4x4, ma con i dati che ho non saprei come fare..
Risposte
nessuno sa aiutarmi?
La somma degli autospazi di una matrice diagonalizzabile è l'intero spazio ambiente; ma tale matrice è diagonalizzabile in quanto simmetrica e quindi ti manca un autospazio e lo devi determinare come completamento di [tex]\langle(1;0;1;0),(2;1;-2;1)\rangle\oplus\langle(1;0;-1;-4)\rangle[/tex] in [tex]\mathbb{R}^4[/tex].
quindi si tratta di ottenere il terzo autospazio tramite la somma diretta dei primi due?
Sì, così hai una base di 4 autovettori; essendo 3 autospazi hai 3 autovalori distinti (reali perché la matrice è simmetrica).
Mi dispiace, non riesco a capire.. Il vettore che devo trovarmi dalla somma diretta dev'essere semplicemente un vettore che non sia combinazione lineare di tutti gli altri? E dopo come faccio a comporre la matrice in modo che sia simmetrica?
I) Sì esatto!
II) Non mi pare che tu debba debba determinare la incognita matrice simmetrica!
III) Facendo i conti vedrai che i dati autovettori sono ortogonali tra di loro, li devi solo normalizzare; quindi il IV autovettore è ortogonale ad essi (lo sai il perché?), lo normalizzi ed ottieni una base ortonormale di autovettori della incognita matrice simmetrica!
II) Non mi pare che tu debba debba determinare la incognita matrice simmetrica!
III) Facendo i conti vedrai che i dati autovettori sono ortogonali tra di loro, li devi solo normalizzare; quindi il IV autovettore è ortogonale ad essi (lo sai il perché?), lo normalizzi ed ottieni una base ortonormale di autovettori della incognita matrice simmetrica!
ho provato a fare i conti, però mi viene che (1,0,1,0) è perpendicolare a (2,1,-2,1) e a (1,0,-1,-4) , ma (2,1,-2,1) non è perpendicolare a (1,0,-1,4).. Non devono essere a due a due ortogonali e di norma 1 per essere ortonormali?
Eh?
[tex](2;1;-2;1)\cdot(1;0;-1;-4)=2\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot(-1)+1\cdot(-4)=2+0+2-4=0[/tex]
Hai dimenticato il [tex]"-"[/tex] finale!
[tex](2;1;-2;1)\cdot(1;0;-1;-4)=2\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot(-1)+1\cdot(-4)=2+0+2-4=0[/tex]
Hai dimenticato il [tex]"-"[/tex] finale!
grazie mille, sono uno scandalo... 
Ok ora ho verificato che tutti i vettori dati sono ortogonali.
Un vettore combinazione lineare di (1,0,1,0) , (2,1,-2,1) , (1,0,-1,-4) è un vettore del tipo: (a+2b+c , b , c-4b) giusto?
Quindi se io prendo per esempio il vettore (0,1,2,3) vedo che non è combinazione lineare di quelli dati, perchè per esempio la quarta componente (3), no è ottenuta come somma della terza (2) - 4volte la seconda (1) .
Però il vettore (0,1,2,3) non è ortogonale agli altri, pur non essendo loro comb. lineare. Tu però mi dicevi che dovrebbe essere ortogonale, giusto? Quindi miissà che non ho capito cosa intendevi dirmi..
Ok ora ho verificato che tutti i vettori dati sono ortogonali.
Un vettore combinazione lineare di (1,0,1,0) , (2,1,-2,1) , (1,0,-1,-4) è un vettore del tipo: (a+2b+c , b , c-4b) giusto?
Quindi se io prendo per esempio il vettore (0,1,2,3) vedo che non è combinazione lineare di quelli dati, perchè per esempio la quarta componente (3), no è ottenuta come somma della terza (2) - 4volte la seconda (1) .
Però il vettore (0,1,2,3) non è ortogonale agli altri, pur non essendo loro comb. lineare. Tu però mi dicevi che dovrebbe essere ortogonale, giusto? Quindi miissà che non ho capito cosa intendevi dirmi..
Veramente sarebbe del tipo [tex](a+2b+c;b;a-2b-c;b-4c)[/tex]!
Prova di nuovo
Prova di nuovo
ok ho provato di nuovo, questa volta con i conti giusti ( 
) e ho preso per esempio il vettore (0,1,1,-3)
Questo vettore NON è combinazione lineare degli altri tre. Infatti viene un sistema di questo tipo:
a+2b+c= 0
b=1
a-2b-c=1
b-4c=-3
E il sistema è impossibile. Però il vettore (0,1,1,-3) non è ortogonale agli altri 3 vettori di partenza!
) e ho preso per esempio il vettore (0,1,1,-3)Questo vettore NON è combinazione lineare degli altri tre. Infatti viene un sistema di questo tipo:
a+2b+c= 0
b=1
a-2b-c=1
b-4c=-3
E il sistema è impossibile. Però il vettore (0,1,1,-3) non è ortogonale agli altri 3 vettori di partenza!
Vediamo di mettere un po' d'ordine a questo post che rischia di diventare chilometrico.
Come ben saprai, dal teorema spettrale ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale, ovvero esiste una base ortonormale formata da autovettori della matrice.
E' facile verificare che i vettori $v_1=(1,0,1,0)$, $v_2=(2,1,-2,1)$, $v_3=(1,0,-1,-4)$ sono a due a due ortogonali (e quindi linearmente indipendenti).
Purtroppo questi tre vettori generano uno spazio di dimensione $3$ e non l'intero $RR^4$.
Pertanto ci sarà un terzo autospazio, necessariamente di dimensione $1$ somma diretta ortogonale degli altri due.
A questo punto possiamo rispondere alla prima domanda: Hai tra autospazi distinti, relativi a tre autovalori distinti.
Per determinare il terzo autospazio, completiamo i vettori $v_1,v_2,v_3$ ad una base ortogonale, ottenendo $$.
Per ottenere $v_4=(x,y,z,t)$ si impone l'ortogonalità di $v_4$ con $v_1,v_2,v_3$ ottenendo il sistema
${(x+z=0),(2x+y-2z+t=0),(x-z-4t=0):}$
ottenendo la soluzione $(2t,-9t,-2t,t)$. Quindi $v_4=(2,-9,-2,1)$.
Una base ortonormale di $RR^4$ si può costruire normalizzando i vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ ottenendo una base ortonormale $w_1,w_2,w_3,w_4$.
Veniamo alla seconda domanda: quante basi ortonormali di autovettori di $A$ esistono?
Notiamo subito che se cambiamo di segno ad uno (o a più di uno) dei vettori $w_i$ si ottiene ancora una base ortonormale di $RR^4$. Quindi otteniamo almeno 16 diverse basi ortonormali date da $\pm w_1,\pm w_2,\pm w_3,\pm w_4$.
In realtà ce ne sono di più: il primo autospazio $W_1=$ ammette infinite basi ortonormali (ovviamente di autovettori relativi allo stesso autovalore).
Pertanto anche $RR^4$ ammette infinite basi ortonormali di autovettori. Basta aggiungere ad una delle infinite basi $u_1,u_2$ di $W_1$ i vettori $\pm w_3,\pm w_4$.
"bettyfromhell":
Siano $<(1,0,1,0), (2,1,-2,1)>$ e $<(1,0,-1,-4)>$ autospazi di una matrice simmetrica A. Quanti sono i suoi autovalori distinti? Si determini, se possibile, una base ortonormale di autovettori di A e si dica quante ne esistono, a prescindere dall'ordine.
Come ben saprai, dal teorema spettrale ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale, ovvero esiste una base ortonormale formata da autovettori della matrice.
E' facile verificare che i vettori $v_1=(1,0,1,0)$, $v_2=(2,1,-2,1)$, $v_3=(1,0,-1,-4)$ sono a due a due ortogonali (e quindi linearmente indipendenti).
Purtroppo questi tre vettori generano uno spazio di dimensione $3$ e non l'intero $RR^4$.
Pertanto ci sarà un terzo autospazio, necessariamente di dimensione $1$ somma diretta ortogonale degli altri due.
A questo punto possiamo rispondere alla prima domanda: Hai tra autospazi distinti, relativi a tre autovalori distinti.
Per determinare il terzo autospazio, completiamo i vettori $v_1,v_2,v_3$ ad una base ortogonale, ottenendo $
Per ottenere $v_4=(x,y,z,t)$ si impone l'ortogonalità di $v_4$ con $v_1,v_2,v_3$ ottenendo il sistema
${(x+z=0),(2x+y-2z+t=0),(x-z-4t=0):}$
ottenendo la soluzione $(2t,-9t,-2t,t)$. Quindi $v_4=(2,-9,-2,1)$.
Una base ortonormale di $RR^4$ si può costruire normalizzando i vettori $v_1,v_2,v_3,v_4$ ottenendo una base ortonormale $w_1,w_2,w_3,w_4$.
Veniamo alla seconda domanda: quante basi ortonormali di autovettori di $A$ esistono?
Notiamo subito che se cambiamo di segno ad uno (o a più di uno) dei vettori $w_i$ si ottiene ancora una base ortonormale di $RR^4$. Quindi otteniamo almeno 16 diverse basi ortonormali date da $\pm w_1,\pm w_2,\pm w_3,\pm w_4$.
In realtà ce ne sono di più: il primo autospazio $W_1=
Pertanto anche $RR^4$ ammette infinite basi ortonormali di autovettori. Basta aggiungere ad una delle infinite basi $u_1,u_2$ di $W_1$ i vettori $\pm w_3,\pm w_4$.
perfetto, sei stato/a chiarissimo/a. Grazie mille ad entrambi! 
Prego, ti ho dato poco alla volta perché il troppo è indigesto! Poi non sono stato presente molto.
Grazie anche grazie a CiraSA che mi aggiusta sempre per la via
Grazie anche grazie a CiraSA che mi aggiusta sempre per la via
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