Aiuto esercizio matrici/vettori!

[ezio1400]

Questo è l'esercizio e purtroppo non so neanche da dove partire:
Si considerino le matrici
$Aα = [ ( cosalpha , -senalpha ),( senalpha , cosalpha ) ] $
Dimostrare che la trasformazione
$ ( ( x ),( y ) ) |-> A_alpha( ( x ),( y ) ) $
rappresenta una rotazione di un angolo α in senso antiorario.

Qualche suggerimento?

[kobeilprofeta]

inizia a moltiplicare la matrice per il vettore con la regola righe x colonne e vedi cosa ti risulta.

[ezio1400]

"kobeilprofeta":inizia a moltiplicare la matrice per il vettore con la regola righe x colonne e vedi cosa ti risulta.

$Aα = [ ( x*cosalpha-y*senalpha ),( x*senalpha+y*cosalpha ) ] $

[Flamber]

Adesso prova a disegnare un generico vettore $(x,y)$ e poi disegna il vettore che ottieni dopo il prodotto, utilizzando per esempio $\alpha=\pi/2$

[ezio1400]

"Flamber":Adesso prova a disegnare un generico vettore $(x,y)$ e poi disegna il vettore che ottieni dopo il prodotto, utilizzando per esempio $\alpha=\pi/2$

ottengo lo stesso vettore ruotato di un certo angolo se non sbaglio

[ostrogoto1]

In altra maniera puoi verificare che la lunghezza del vettore resta invariata dopo aver applicato la matrice e calcolare l'angolo che forma il vettore originale prima dell'applicazione con il vettore ottenuto dopo aver applicato la matrice cosi' il procedimento resta piu' "matematico"...

[Flamber]

Un altro modo elegante di dimostrare questa proprietà è fare riferimento ad una funzione a variabile complessa con valori complessi del tipo:

$f(z)=\gammaz+z_0$

$\gamma,z,z_0 in CC$

$\gamma=r*e^(i\tau)=rcos\tau+irsin\tau$

$z_0=x_0+iy_0$

Se provi a scrivere la funzione come $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ed imponi $z_0=0$ e $|\gamma|=1$, ottieni una rotazione del piano di Gauss.

[ezio1400]

Ho determinato che la lunghezza del vettore è invariata ora come faccio a verificare che l'angolo è antiorario?

Chiamando $ x $ il vettore non ruotato e $ x^{\prime} $ il vettore ruotato ho provato ha determinarmi l'angolo $ alpha $ ma non mi è stato molto d'aiuto!

$ cos alpha = (ul(x) * ul(x)^{\prime})/(||x||*||x^{\prime}||) = (x^2*cos alpha -x*y*sen alpha + x*y*sen alpha + y^2*cos alpha)/(x^2+y^2)=((x^2+y^2)*cosalpha)/(x^2+y^2) $

[ostrogoto1]

Non chiamare $ alpha $ l'angolo che calcoli con la formula del prodotto scalare perche' altrimenti anticipi il risultato...

Sia $ beta $ l'angolo tra i due vettori e verifico che e' uguale ad $ alpha $.

$ cos beta = (ul(x) * ul(x)^{\prime})/(||x||*||x^{\prime}||) = (x^2*cos alpha -x*y*sen alpha + x*y*sen alpha + y^2*cos alpha)/(x^2+y^2)=((x^2+y^2)*cosalpha)/(x^2+y^2) $

[ezio1400]

"ostrogoto":Non chiamare $ alpha $ l'angolo che calcoli con la formula del prodotto scalare perche' altrimenti anticipi il risultato...

Sia $ beta $ l'angolo tra i due vettori e verifico che e' uguale ad $ alpha $.

$ cos beta = (ul(x) * ul(x)^{\prime})/(||x||*||x^{\prime}||) = (x^2*cos alpha -x*y*sen alpha + x*y*sen alpha + y^2*cos alpha)/(x^2+y^2)=((x^2+y^2)*cosalpha)/(x^2+y^2) $

Quindi?$ cos beta = ((x^2+y^2)*cosalpha)/(x^2+y^2) $
Mi chiede di verificare che la rotazione sia antioraria...