Aiuto Esercizio Geometria
Salve ho questo esercizio:
Nello spazio $R^3$ dotato di prodotto scalare standard, sia $ u$ appartenente $R^3 = M3x1(R)$.
Considerare la matrice $A$ così definita $A=I3 - u*u^T
1 Verificare che la matrice $A$ è simmetrica
2 Dato $u=((-1/sqrt(2)),(0),(1/sqrt(2)))$ si calcolino gli autovalori ed autospazi di $A$
3 Trovare una matrice ortogonale $P$ tale che $P^TAP=D$ sia diagonale e si scriva $D$.
Mi potreste dare qualche suggerimento? grazie in anticipo ciao!
Nello spazio $R^3$ dotato di prodotto scalare standard, sia $ u$ appartenente $R^3 = M3x1(R)$.
Considerare la matrice $A$ così definita $A=I3 - u*u^T
1 Verificare che la matrice $A$ è simmetrica
2 Dato $u=((-1/sqrt(2)),(0),(1/sqrt(2)))$ si calcolino gli autovalori ed autospazi di $A$
3 Trovare una matrice ortogonale $P$ tale che $P^TAP=D$ sia diagonale e si scriva $D$.
Mi potreste dare qualche suggerimento? grazie in anticipo ciao!
Risposte
Nessuno mi può dare una mano?
"DeltaCobra":
$R^3 = M3x1(R)$
Su quest' uguaglianza ho qualche dubbio, se non sbaglio si scrive $\RR^3~~M_{3x1}(\RR)$ ma non ne sono sicuro.
"DeltaCobra":
Considerare la matrice $A$ così definita $A=I3 - u*u^T
Volevi scrivere $I_3$ esatto?
Comunque partendo dal primo punto, hai provato a ragionare in qualche modo?
il prodotto $u \cdot u^T$ secondo te è possibile? Forse c' è qualche errore nella traccia
Si volevo scrivere $I_3$...se c'è qualche errore nella traccia sinceramente non lo so ho ricontrollato nel testo d'esame ma è così. Scusa ma il prodotto di una matrice 3 x 1 con una 1 x 3 non si può fare? Se ho una matrice 3 x 1 se la traspongo diventa 1 x 3 no?
Si scusa mi stavo confondendo, è possibile fare il prodotto $u \cdot u^T$
Quindi considera un generico vettore colonna $\vec u= (( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) ) $
e poi ti ricavi la matrice $A$.
Cosa osservi?
Quindi considera un generico vettore colonna $\vec u= (( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) ) $
e poi ti ricavi la matrice $A$.
Cosa osservi?
Forse che i componenti del vettore si moltiplicano per se stessi? $I_3$ sarebbe una matrice 3 x 3 giusto?
Se è così verrebbe la matrice meno una matrice 3 x 1 che ha i componenti
elevati al quadrato?
Se è così verrebbe la matrice meno una matrice 3 x 1 che ha i componenti
elevati al quadrato?
"DeltaCobra":
Forse che i componenti del vettore si moltiplicano per se stessi? $I_3$ sarebbe una matrice 3 x 3 giusto?
Hai fatto il prodotto righe per colonne? Ti deve venire una matrice 3 x 3.
Per l'altra domanda esatto, $I_3= ( (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ) $, che ovviamente è una matrice 3 x 3.
"DeltaCobra":
Se è così verrebbe la matrice meno una matrice 3 x 1 che ha i componenti
elevati al quadrato?
Dovresti spiegarti meglio, così non è chiaro a cosa ti riferisci.
Allora $((a),(b),(c))$ x $(a,b,c)$ diventa $((a^2, ab,ac),(ab,b^2,bc),(ac,bc,c^2))$ giusto?
Quindi alla fine viene $((1-a^2,-ab,-ac),(-ab,1-b^2,-bc),(-ac,-bc,1-c^2))$ ? Sbagliato qualcosa?
Quindi alla fine viene $((1-a^2,-ab,-ac),(-ab,1-b^2,-bc),(-ac,-bc,1-c^2))$ ? Sbagliato qualcosa?
Si esatto, puoi anche indicare così il prodotto $u u^T$
edit: non c' è nessun errore, va bene. Ti rimane da dire se è simmetrica oppure no
edit: non c' è nessun errore, va bene. Ti rimane da dire se è simmetrica oppure no
Si è simmetrica perchè $A=A^T$.....Adesso ho trovato gli autovalori della matrice con il vettore assegnato mi viene come polinomio caratteristico:
$lambda(lambda-1)^2$
poi trovo gli autovettori :
con $lambda=0$ trovo $lambda_0=((1),(0),(1))$
con $lambda=1$ trovo $lambda_1=((1),(0),(1))$ e $((0),(1),(0))$
la matrice $P=((1,1,0),(0,0,1),(1,1,0))$
poi la devo trasporre? e dopo?
$lambda(lambda-1)^2$
poi trovo gli autovettori :
con $lambda=0$ trovo $lambda_0=((1),(0),(1))$
con $lambda=1$ trovo $lambda_1=((1),(0),(1))$ e $((0),(1),(0))$
la matrice $P=((1,1,0),(0,0,1),(1,1,0))$
poi la devo trasporre? e dopo?
Non capisco come hai fatto a ricavare gli autovettori.
Ad esempio, per quanto riguarda l' autovalore $\lambda_1=1$, a me risulta:
$A=( (1/2,0,-1/2),(0,1,0),(-1/2,0,1/2) )$
$A-I_3= ( (-1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,-1/2) )$
Poi si considera la seguente equazione:
$ -x/2-z/2=0 $
che ammette $\infty^1$ soluzioni e si afferma che gli autovettori associati a $\lambda_1$ sono
del tipo $(k,t,-k)$ dove $k,t \in \RR$ ma diversi da zero
eit: ho fatto delle correzioni
Ad esempio, per quanto riguarda l' autovalore $\lambda_1=1$, a me risulta:
$A=( (1/2,0,-1/2),(0,1,0),(-1/2,0,1/2) )$
$A-I_3= ( (-1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,-1/2) )$
Poi si considera la seguente equazione:
$ -x/2-z/2=0 $
che ammette $\infty^1$ soluzioni e si afferma che gli autovettori associati a $\lambda_1$ sono
del tipo $(k,t,-k)$ dove $k,t \in \RR$ ma diversi da zero
eit: ho fatto delle correzioni
Allora a me viene così:
$((-1/sqrt2),(0),(1/sqrt2)) * (-1/sqrt2,0,1/sqrt2)=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
Poi $A=I_3-u*u^T=((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))$
Ti torna?
Autovalori mi vengono $lambda=0$ (con $ ma=1$) $lambda=1$ (con $ ma=2$)
Autovettori $lambda_0=[(-1),(0),(1)]$ poi $lambda_1=[(1),(0),(1)],[(0),(1),(0)]$
Per trovare poi la matrice ortogonale e le altre cose?
$((-1/sqrt2),(0),(1/sqrt2)) * (-1/sqrt2,0,1/sqrt2)=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
Poi $A=I_3-u*u^T=((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))$
Ti torna?
Autovalori mi vengono $lambda=0$ (con $ ma=1$) $lambda=1$ (con $ ma=2$)
Autovettori $lambda_0=[(-1),(0),(1)]$ poi $lambda_1=[(1),(0),(1)],[(0),(1),(0)]$
Per trovare poi la matrice ortogonale e le altre cose?
"DeltaCobra":
Allora a me viene così:
$((-1/sqrt2),(0),(1/sqrt2)) * (-1/sqrt2,0,1/sqrt2)=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$
Poi $A=I_3-u*u^T=((1/2,0,1/2),(0,1,0),(1/2,0,1/2))$
Ti torna?
Ok fin qui, mostra i passaggi che hai fatto per trovare i due autospazi.
Poi passiamo al 3° punto
Per trovare gli autospazi
$((1/2-lambda,0,1/2),(0,1-lambda,0),(1/2,0,1/2-lambda))$
ho sostituito prima $lambda=0$ risolvo il sistema omogeneo e trovo il primo autospazio
poi ho sostituito $lambda=1$ e risolvo di nuovo il sistema omogeneo e trovo gli altri due.
Gli autospazi che ho trovato li ho elencati nel post precedente.
Poi per trovare la matrice ortogonale $P$ tale $P^TAP=D$?
$((1/2-lambda,0,1/2),(0,1-lambda,0),(1/2,0,1/2-lambda))$
ho sostituito prima $lambda=0$ risolvo il sistema omogeneo e trovo il primo autospazio
poi ho sostituito $lambda=1$ e risolvo di nuovo il sistema omogeneo e trovo gli altri due.
Gli autospazi che ho trovato li ho elencati nel post precedente.
Poi per trovare la matrice ortogonale $P$ tale $P^TAP=D$?
L'ho pensata in questo modo
La matrice $P=((-1,1,0),(0,0,1),(1,1,0))$ matrice degli autospazi
La matrice è ortogonale perchè gli autospazi sono a due a due ortogonali
poi calcolo la trasposta di $P^T=((-1,0,1),(1,0,1),(0,1,0))$
Infine $P^TAP=((0,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$
Domanda che mi pongo: Ma la matrice $D$ non deve avere sulla diagonale gli autovalori????
Forse ho sbagliato qualcosa?
La matrice $P=((-1,1,0),(0,0,1),(1,1,0))$ matrice degli autospazi
La matrice è ortogonale perchè gli autospazi sono a due a due ortogonali
poi calcolo la trasposta di $P^T=((-1,0,1),(1,0,1),(0,1,0))$
Infine $P^TAP=((0,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$
Domanda che mi pongo: Ma la matrice $D$ non deve avere sulla diagonale gli autovalori????
Forse ho sbagliato qualcosa?
Forse prima volevi intendere questo :
$\lambda_0= < (-1,0,1) >$ e $\lambda_1= < (1,0,1),(0,1,0) >$ esatto?
Comunque sinceramente non so dirti sull' ortogonalità degli autospazi.
Però puoi considerare il fatto che $ AP=DP$, ma non sono sicuro che questo sia giusto
$\lambda_0= < (-1,0,1) >$ e $\lambda_1= < (1,0,1),(0,1,0) >$ esatto?
Comunque sinceramente non so dirti sull' ortogonalità degli autospazi.
Però puoi considerare il fatto che $ AP=DP$, ma non sono sicuro che questo sia giusto
Ok grazie per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo