Aiuto esercizio d'esame

[Mel881]

Sapendo che z = i/2 è soluzione di 2z^3 - (8 + 5i)z^2 + 4(1 + 4i)z + 3(2 - i) = 0, trovare le altre.

C'è qualcuno che potrebbe spiegarmi questo esercizio, passo per passo...
Non riesco ad utilizzare ruffini qui.
Ringrazio tutti anticipatamente

[Gi81]

Potresti dividere il polinomio per $z-1/2i$,
ottendendo un polinomio di secondo grado ( e da lì è semplice trovare le altre soluzioni)

[Mel881]

Potresti spiegarmi come faccio?

[Gi81]

Non sai fare la divisione tra un polinomio e un binomio?
Si fa in prima superiore (se non prima)

E' vero, ci sono i numeri complessi, ma non cambia molto

[Mel881]

No, ovviamente la so fare, non riesco a fare il seguito, perlomeno non mi viene il risultato esatto

[Gi81]

Ok. Quanto ti è venuto il polinomio di secondo grado?

Edit: per avere ancora coefficienti interi, conviene dividere per $2z-i$ piuttosto che per $z-1/2i$

[Mel881]

Mi viene 2Z^2-(8+4i)Z+6+12i

[Gi81]

Perfetto, puoi vederlo anche come $2*[z^2-(4+2i)z+3+6i]$

Ora devi trovare le radici di questo polinomio: si tratta di risolvere l'equazione $z^2-(4+2i)z+3+6i=0$
$Delta/4=(2+i)^2-(3+6i)=4-1+4i-3-6i=-2i$

Si tratta di trovare $a,b in RR$ tali che $(a+ib)^2=-2i$ (lo lascio fare a te)

ti dovrebbe venire $a=1$, $b=-1$

Quindi $z_(1,2)=2+i+-(a+ib)$ Ecco le due soluzioni

[Mel881]

Ecco infatti anche a me viene così...
La soluzione dice che viene:
Z = 3
Z = 1+2i

[Gi81]

Infatti è così

[Mel881]

E' vero, scusami, mi mancava l'ultimo passaggio.
Grazie per la pazienza