Aiuto esercizio autovalori/autovettori
Salve ragazzi, ho dato qualche giorno fa l'esame di algebra lineare e geometria, ho l'orale giovedì 27 e spero potrete darmi una mano in tempo con questo esercizio visto che con ongni probabilità sarà argomento dell'orale.
Dati i vettori $v_1 = (0, 0, 1), v_2 = (1, -2, 1), v_3 = (1, -1, 0) in RR^3$, sia $f$ un endomorfismo di $RR^3$ avente 1 come unico autovalore, con molteplicità algebrica 3, e tale che $f(v_1) = v_2, f(v_2) = v_3$.
(a) Si scriva la matrice A di $f$ rispetto alla base ${v_1, v_2, v_3}$.
(b) Si scriva la matrice B di $f$ rispetto alla base canonica.
(c) Si determini l'autospazio relativo all'autovalore 1 e si dica se $f$ è diagonalizzabile.
(d) Si trovi una base di $RR^3$ rispetto alla quale la matrice di $f$ sia triangolare superiore.
I miei tentativi:
Ho dei dubbi già per quanto riguarda il punto (a), ho pensato a questo:
$f(v_1) = v_2 = (1, -2, 1)$, scritto usando $v_1, v_2, v_3$ come base si ottiene: $(0, 1, 0)$
$f(v_2) = v_3 = (1, -1, 0)$, scritto usando $v_1, v_2, v_3$ come base si ottiene: $(0, 0, 1)$
$f(v_3) = (a, b, c)$
allora $A = ((0, 0, a), (1, 0, b), (0, 1, c))$
a questo punto sfruttando il fatto che l'autovalore $\lambda =$ 1 ha molteplicità 3 pongo:
$det (A - \lambda I) = det((0 - \lambda, 0, a), (1, 0 - \lambda, b), (0, 1, c - \lambda)) = (1-\lambda)^3$
(spero non sia una cavolata)
e si ottiene alla fine:
$- \lambda^3 + \lambda^2 c + \lambda b + a = - \lambda^3 + 3 \lambda^2 - 3 \lambda + 1$
e quindi $a = 1, b = -3, c = 3$ (spero di non aver sbagliato i conti)
i punti (b) e (c) li ritengo semplici, mentre non ho idee per quanto riguarda il punto (d), ho letto qualcosa che riguarda le matrici triangolati superiori e che coinvolge la forma canonica di Jordan ma è un argomento che non abbiamo affrontato a lezione, chiedo quindi aiuto a voi per quanto riguarda soprattutto i punti (a) e (d), grazie anticipatamente!
Dati i vettori $v_1 = (0, 0, 1), v_2 = (1, -2, 1), v_3 = (1, -1, 0) in RR^3$, sia $f$ un endomorfismo di $RR^3$ avente 1 come unico autovalore, con molteplicità algebrica 3, e tale che $f(v_1) = v_2, f(v_2) = v_3$.
(a) Si scriva la matrice A di $f$ rispetto alla base ${v_1, v_2, v_3}$.
(b) Si scriva la matrice B di $f$ rispetto alla base canonica.
(c) Si determini l'autospazio relativo all'autovalore 1 e si dica se $f$ è diagonalizzabile.
(d) Si trovi una base di $RR^3$ rispetto alla quale la matrice di $f$ sia triangolare superiore.
I miei tentativi:
Ho dei dubbi già per quanto riguarda il punto (a), ho pensato a questo:
$f(v_1) = v_2 = (1, -2, 1)$, scritto usando $v_1, v_2, v_3$ come base si ottiene: $(0, 1, 0)$
$f(v_2) = v_3 = (1, -1, 0)$, scritto usando $v_1, v_2, v_3$ come base si ottiene: $(0, 0, 1)$
$f(v_3) = (a, b, c)$
allora $A = ((0, 0, a), (1, 0, b), (0, 1, c))$
a questo punto sfruttando il fatto che l'autovalore $\lambda =$ 1 ha molteplicità 3 pongo:
$det (A - \lambda I) = det((0 - \lambda, 0, a), (1, 0 - \lambda, b), (0, 1, c - \lambda)) = (1-\lambda)^3$
(spero non sia una cavolata)
e si ottiene alla fine:
$- \lambda^3 + \lambda^2 c + \lambda b + a = - \lambda^3 + 3 \lambda^2 - 3 \lambda + 1$
e quindi $a = 1, b = -3, c = 3$ (spero di non aver sbagliato i conti)
i punti (b) e (c) li ritengo semplici, mentre non ho idee per quanto riguarda il punto (d), ho letto qualcosa che riguarda le matrici triangolati superiori e che coinvolge la forma canonica di Jordan ma è un argomento che non abbiamo affrontato a lezione, chiedo quindi aiuto a voi per quanto riguarda soprattutto i punti (a) e (d), grazie anticipatamente!
Risposte
Riesumo questo topic perchè ho lo stesso problema...e non riesco a venirne fuori. Idee? 
Grazie.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo