Aiuto domanda prodotto scalare non degenere

[andyrock1]

Qualcuno può aiutarmi con questa domanda filtro?

Se \(\displaystyle <,> \) è un prodotto scalare non degenere su V, allora può esistere un vettore \(\displaystyle v \neq 0 \) in V tale che \(\displaystyle = 0 \)?

So che se \(\displaystyle \neq 0\) per tutti i \(\displaystyle v \in V \) diversi dal vettore nullo, allora \(\displaystyle <,> \) è non degenere. Ma non credo che valga il contrario...

[dissonance]

Hai ragione. Fai la prova con questo prodotto scalare non degenere (nel senso che \(\langle v, x \rangle = 0\) per ogni \(x\) implica \(v =0\)):

\[\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2+y_1x_2.\]

Verifica che \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) è non degenere ma che \(\langle (1, 0), (1, 0)\rangle =0\).

[andyrock1]

"dissonance":Hai ragione. Fai la prova con questo prodotto scalare non degenere (nel senso che \(\langle v, x \rangle = 0\) per ogni \(x\) implica \(v =0\)):

\[\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2+y_1x_2.\]

Verifica che \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) è non degenere ma che \(\langle (1, 0), (1, 0)\rangle =0\).

Ho verificato che \(\displaystyle <,> \) è non degenere scrivendo la matrice S associata a tale prodotto scalare rispetto alla base canonica, accertandomi che \(\displaystyle det(S) \neq 0 \).

Grazie mille!

[andyrock1]

Mi aiuteresti anche con questo:

Esiste un prodotto scalare non degenere su \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) tale che \(\displaystyle = = = 0 \)?

Grazie,

[dissonance]

Io ti posso pure rispondere, ma così non ti resterà niente. Allora ti do un suggerimento. Ricordati che un prodotto scalare in \(\mathbb{R}^3\) si rappresenta con una matrice simmetrica e che \(\langle e_i, e_i \rangle\) sono le entrate sulla diagonale principale. Usando questo, traduci in forma matriciale la richiesta del problema e a quel punto potrai rispondere facilmente.

[andyrock1]

"dissonance":Io ti posso pure rispondere, ma così non ti resterà niente. Allora ti do un suggerimento. Ricordati che un prodotto scalare in \(\mathbb{R}^3\) si rappresenta con una matrice simmetrica e che \(\langle e_i, e_i \rangle\) sono le entrate sulla diagonale principale. Usando questo, traduci in forma matriciale la richiesta del problema e a quel punto potrai rispondere facilmente.

Era proprio l'aiuto quello che cercavo

Vediamo se ho capito. Scrivo la matrice S che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base canonica:
\[
S = \begin{pmatrix}
0 & a & b \\
a & 0 & c \\
b & c & 0
\end{pmatrix}
\]
Per essere non degenere pongo il determinante diverso da zero. Quindi rispetto alla prima riga:
\(\displaystyle det(S) = -a(-cb) + b(ac) = 2abc \)

Quindi per essere non degenere deve essere \(\displaystyle a \neq 0, b \neq 0, c\neq 0 \)

Il prodotto scalare \(\displaystyle = 2v_1w_2 + 2v_2w_1 + 3v_1w_3 + 3v_3w_1 + v_2w_3 + v_3w_2 \) dovrebbe soddisfare la richiesta vero?

[dissonance]

Tutto esatto.

[andyrock1]

Gentilissimo.

Grazie ancora e buon anno.