Aiuto determinanti
Ciao a tutti..
scusate per la mia richiesta insolita.... Purtroppo ho perso una lezione di algebra lineare e adesso ho qualche problema a decifrare gli appunti di un collega...
Potete spiegarmi cosa è stato fatto in questo esercizio?
$det((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=a_(11)a_(22)-a_(21)a_(12)$ dato che $S_2=((1,2),(1,2)),((1,2),(2,1))$ e $sgn((1,2),(1,2))=1$ e $sgn((1,2),(2,1))=-1$
GRAZIE anticipatamente a chi mi aiuterà
N.B. Ovviamente quello che non mi è chiaro è il "dato che"
scusate per la mia richiesta insolita.... Purtroppo ho perso una lezione di algebra lineare e adesso ho qualche problema a decifrare gli appunti di un collega...
Potete spiegarmi cosa è stato fatto in questo esercizio?
$det((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=a_(11)a_(22)-a_(21)a_(12)$ dato che $S_2=((1,2),(1,2)),((1,2),(2,1))$ e $sgn((1,2),(1,2))=1$ e $sgn((1,2),(2,1))=-1$
GRAZIE anticipatamente a chi mi aiuterà
N.B. Ovviamente quello che non mi è chiaro è il "dato che"
Risposte
Non capisco il discorso delle permutazioni? Su quali oggett avvengono, quali vengono permutati?
Se hai presente la formula per calcolare il determinante, per una 2x2 devi fare una sommatoria su tutte le permutazioni in $S_2$, che sono 2:
l'identità $((1,2),(1,2))$ e $((1,2),(2,1))$;
non so se sai cmq calcolare il segno della permutazione, cmq, come hai detto l'identità è di segno 1, mentre l'altra -1.
Detto ciò, ti basta utilizzare la formula ( $sum_(sigmainS_2) sgn(sigma) *a_{1,sigma(1)} *a_{2,sigma(2)}$ )
l'identità $((1,2),(1,2))$ e $((1,2),(2,1))$;
non so se sai cmq calcolare il segno della permutazione, cmq, come hai detto l'identità è di segno 1, mentre l'altra -1.
Detto ciò, ti basta utilizzare la formula ( $sum_(sigmainS_2) sgn(sigma) *a_{1,sigma(1)} *a_{2,sigma(2)}$ )
Da dove prendo tutte le permutazioni in (S_2)?
Questo forse lo so....
Ma soprattutto, come faccio a capire l'ordine con cui appioppare i + e i meno.....
Es: se il determiannte fosse stato 3x3, al secondo termine del determinante, quale permutazione compete?
Questo forse lo so....
Ma soprattutto, come faccio a capire l'ordine con cui appioppare i + e i meno.....
Es: se il determiannte fosse stato 3x3, al secondo termine del determinante, quale permutazione compete?
Per una matrice 3x3 i prodotti da considerare diventano 3!=6
e sono i seguenti:
$a_(11)*a_(22)*a_(33)$
$a_(11)*a_(23)*a_(32)$
$a_(12)*a_(21)*a_(33)$
$a_(12)*a_(23)*a_(31)$
$a_(13)*a_(21)*a_(32)$
$a_(13)*a_(22)*a_(31)$
Per capire come si formano e' sufficiente osservare che, in ogni prodotto, i primi
indici ( quelli delle righe) sono sempre 1,2,3 (cosa a cui ci si puo' sempre ridurre
scambiando opportunamente i fattori) mentre i secondi indici ( quelli delle colonne)
sono una permutazione di questi ultimi.
Ad esempio nel primo prodotto i primi indici sono 1,2,3 ed i secondi sono 1,2,3
e vanno a formare la permutazione identica
$((1,2,3),(1,2,3))$
mentre nel secondo prodotto i primi indici sono sempre 1,2,3 ed i secondi sono 1,3,2
e vanno a formare la permutazione
$((1,2,3),(1,3,2))$
e cosi' via fino ad esaurire tutte le 6 possibili permutazioni.
Ad ognuno di questi 6 prodotti viene attribuito poi il segno "+" o il segno "-"
a seconda che la permutazione corrispondente sia di classe pari o di classe dispari
ovvero se essa permutazione presenti un numeri pari o dispari d'inversioni.
Nel caso nostro i segni da attribuire ai 6 prodotti sono nell'ordine:
+,-,-,+,+,-
come puoi controllare da solo ( e salvo miei errori !).
A scanso di equivoci aggiungo che la dizione " viene attribuito il segno + o -"
significa semplicemente che il prodotto in esame viene lasciato col suo segno
o ne viene cambiato a seconda della classe della permutazione relativa.
karl
e sono i seguenti:
$a_(11)*a_(22)*a_(33)$
$a_(11)*a_(23)*a_(32)$
$a_(12)*a_(21)*a_(33)$
$a_(12)*a_(23)*a_(31)$
$a_(13)*a_(21)*a_(32)$
$a_(13)*a_(22)*a_(31)$
Per capire come si formano e' sufficiente osservare che, in ogni prodotto, i primi
indici ( quelli delle righe) sono sempre 1,2,3 (cosa a cui ci si puo' sempre ridurre
scambiando opportunamente i fattori) mentre i secondi indici ( quelli delle colonne)
sono una permutazione di questi ultimi.
Ad esempio nel primo prodotto i primi indici sono 1,2,3 ed i secondi sono 1,2,3
e vanno a formare la permutazione identica
$((1,2,3),(1,2,3))$
mentre nel secondo prodotto i primi indici sono sempre 1,2,3 ed i secondi sono 1,3,2
e vanno a formare la permutazione
$((1,2,3),(1,3,2))$
e cosi' via fino ad esaurire tutte le 6 possibili permutazioni.
Ad ognuno di questi 6 prodotti viene attribuito poi il segno "+" o il segno "-"
a seconda che la permutazione corrispondente sia di classe pari o di classe dispari
ovvero se essa permutazione presenti un numeri pari o dispari d'inversioni.
Nel caso nostro i segni da attribuire ai 6 prodotti sono nell'ordine:
+,-,-,+,+,-
come puoi controllare da solo ( e salvo miei errori !).
A scanso di equivoci aggiungo che la dizione " viene attribuito il segno + o -"
significa semplicemente che il prodotto in esame viene lasciato col suo segno
o ne viene cambiato a seconda della classe della permutazione relativa.
karl
GRAZIE A TUTTI
@ Karl
Grazie soprattutto a te! E' proprio quello che volevo sapere e che non avevo capito!!!!
@ Karl
Grazie soprattutto a te! E' proprio quello che volevo sapere e che non avevo capito!!!!
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