Aiuto con un problema di algebra lineare

[boulayo]

il testo dell'esercizio è questo:

Siano (a, b) e (c, d) due vettori del piano. se ad - bc = 0 , dimostrare che essi sono linearmente dipendenti. se ad - bc <> 0 dimostrare che essi sono linearmente indipendenti.

ho provato ma nn capisco come fare...
lo so sono un niubbo! ma lunedì ho un esame e sto sbattendo la testa su queste cose!
per favore qualche buon anima mi dica come si risolve!
grazie!

[Luc@s]

la butto lì... se $A = [[a,b],[c,d]]$ allora hai che $ad - bc = det(A) = 0 => rk(A) = 1 =>$ sono l.d
Ma se $ad - bc = det(A) != 0 => rk(A) = 2 =>$ sono l.i

Ciauz

[boulayo]

grazie chiaro ed esauriente!
però mi piacerebbe risolverlo senza le matrici perchè nel capitolo del libro dove c'è il problema ancora non si parla di matrici e determinanti...
ho provato a fare un sistema ma mi usciva

con a=(bc/d)

x(bc/d) +yc = 0
xb +yd = 0

ma non capisco dove mi possa portare...

[franced]

"boulayo":il testo dell'esercizio è questo:

Siano (a, b) e (c, d) due vettori del piano. se ad - bc = 0 , dimostrare che essi sono linearmente dipendenti. se ad - bc <> 0 dimostrare che essi sono linearmente indipendenti.

ho provato ma nn capisco come fare...
lo so sono un niubbo! ma lunedì ho un esame e sto sbattendo la testa su queste cose!
per favore qualche buon anima mi dica come si risolve!
grazie!

Se i vettori $v_1$ e $v_2$ sono lin. dipendenti, si possono trovare due coefficienti
$lambda_1$ e $lambda_2$ (di cui almeno uno $ne 0$) tali che:

$lambda_1 v_1 + lambda_2 v_2 = 0$

sia $lambda_1 ne 0$:

$v_1 = - lambda_2/lambda_1$ $v_2$

quindi posso scrivere $v_1$ come multiplo di $v_2$:

$v_1 = ((a),(b)) = k ((c),(d))$

quindi:

$((a,c),(b,d)) = ((kc,c),(kd,d))$

e allora il det è nullo: $kc cdot d - c cdot kd = 0$.

Viceversa, se il det è nullo:

$det ((a,c),(b,d)) = ad-bc = 0$

prendo un valore $ne 0$ tra $a,b,c,d$, ad esempio $a$:

$ad - bc = 0$ $rightarrow$ $d = (bc)/a$

quindi:

$((c),(d)) = ((c),(),((bc)/a)) = c/a cdot ((a),(b))$

(si noti che $a ne 0$, quindi ha senso scrivere $c/a$)

quindi posso trovare una combinazione lineare non banale
uguale a zero:

$((c),(d)) - c/a cdot ((a),(b)) = 0$.


Il caso dell'indipendenza è simile.