Aiuto con teorema degli Operatori Autoaggiunti
Salve a tutti, innanzi tutto mi presento perché è il primo messaggio che posto sul forum e mi scusa anche per l'ora tarda. Frequento ingegneria informatica all'università di pisa e mi sono iscritto al forum per avere aiuto per quanto riguarda materie matematiche come analisi II e algebra lineare (Ho già passato analisi I per fortuna), spero che possiate aiutarmi con i miei dubbi.
Allora passiamo subito alle domande, la prima rigurarda un teorema di Operatori Autoaggiunti il quale afferma:
La dimostrazione è la seguente:
il passaggio che non riesco a capire è proprio quello in cui lambda diventa coniugato.
Allora passiamo subito alle domande, la prima rigurarda un teorema di Operatori Autoaggiunti il quale afferma:
Sia A:X->X Autoaggiunto. Allora ogni suo autovalore è reale
La dimostrazione è la seguente:
Siano \lambda \in C ed u \in X rispettivamente un autovalore ed un corrispondente autovettore, allora si ha:
\lambda (|u|^2) = (\lambda u)u = (Au)u= u(Au) = u \lambda u = \lambda (|u|^2)
dove il lambda all'ultimo passaggio diventa coniugato ma non so come scriverlo (chiedo scusa ma come detto sono nuovo e ancora non riesco ad usare bene la simbologia)
allora possiamo dividere ambo i membri della equazione per (|u|^2) e diventerà \lambda = \lambda coniugato. da cui allora lambda è reale.
il passaggio che non riesco a capire è proprio quello in cui lambda diventa coniugato.
Risposte
Benvenuto, il concetto degli operatori autoaggiunti viene spesso trattato in analisi quindi eventualmente sarà opportuno spostarlo. Dato che siano in tema presentazioni ti invito a dare un'occhiata al regolamento e ai metodi di inserimento delle formule[nota]Non interpretarlo come un critica, è mia prassi suggerirlo a tutte le persone nuove del forum. Seppur questa non sia la mia sezione.[/nota]. Nei primi messaggi non ci aspettiamo che uno li usi però ti accorgerai che facilitano notevolmente la comunicazione (inoltre sono obligatorie per gli utenti esperti). Siccome scrivi praticamente il latex non penso che avrai problemi ad impararla (ci sono due metodi di inserimento di cui uno consiste nello scrivere direttamente in latex)
Veniamo quindi al tuo problema. La formula che hai scritto dovrebbe essere questa:
\[\lambda \lVert \mathbf{u}\rVert^2 = \langle \lambda \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \langle A \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, A\mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, \lambda \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \lVert \mathbf{u}\rVert^2\] dove \langle,\rangle è il prodotto hermitiano.
Se ho capito bene il tuo problema è capire il passaggio
\[ \langle \mathbf{u}, \lambda \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \lVert \mathbf{u}\rVert^2\]. Giusto?
La spiegazione è semplice: quello è un prodotto hermitiano.
Veniamo quindi al tuo problema. La formula che hai scritto dovrebbe essere questa:
\[\lambda \lVert \mathbf{u}\rVert^2 = \langle \lambda \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \langle A \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, A\mathbf{u}\rangle = \langle \mathbf{u}, \lambda \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \lVert \mathbf{u}\rVert^2\] dove \langle,\rangle è il prodotto hermitiano.
Se ho capito bene il tuo problema è capire il passaggio
\[ \langle \mathbf{u}, \lambda \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle = \overline{\lambda} \lVert \mathbf{u}\rVert^2\]. Giusto?
La spiegazione è semplice: quello è un prodotto hermitiano.
Allora grazie mille della risposta! inizierò ad imparare le formule quanto prima.
per il problema invece, sarò stupido io ma: da cosa si vede che quello è un prodotto hermitiano?
per il problema invece, sarò stupido io ma: da cosa si vede che quello è un prodotto hermitiano?
Beh, ti trovi nei complessi e il testo usa visibilmente la proprietà delle forme hermitiane. Nei complessi è comune usarla. Immagino che ci sia scritto nelle pagine precedenti.
ok, grazie mille!
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