Aiuto con matrice di jordan
Ho provato a trovare la forma normale per questa matrice, ma non ci sono riuscito...
$A=((1,1,0,1),(0,2,0,0),(-1,1,2,1),(-1,1,0,3))$
Il polinomio caratteristico è $p_A (x)=(2-x)^4$
Mentre una base di $A-2E_4$ è: $(1,1,0,0),(1,0,0,1),(0,0,1,0)$
In fine mi risulta che $(A-2E_4)^2=(0)$.
Adesso scegliendo come vettore ad esempio, $e_4$ ho che la mia base è $(e_4, (A-2E_4) e_4, (A-2E_4)^2 e_4, (A-2E_4)^3 e_4)$, ovvero nella base mi ritrovo due vettori che sono 0...
Non capisco cosa sbaglio..
$A=((1,1,0,1),(0,2,0,0),(-1,1,2,1),(-1,1,0,3))$
Il polinomio caratteristico è $p_A (x)=(2-x)^4$
Mentre una base di $A-2E_4$ è: $(1,1,0,0),(1,0,0,1),(0,0,1,0)$
In fine mi risulta che $(A-2E_4)^2=(0)$.
Adesso scegliendo come vettore ad esempio, $e_4$ ho che la mia base è $(e_4, (A-2E_4) e_4, (A-2E_4)^2 e_4, (A-2E_4)^3 e_4)$, ovvero nella base mi ritrovo due vettori che sono 0...
Non capisco cosa sbaglio..
Risposte
Innanzi tutto, sbagli la base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex], che ha dimensione 2. Quella corretta è [tex](1,0,0,1),(0,0,1,0)[/tex]. Poi
[tex](A - 2I_4)^2 = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
e [tex](A - 2I_4)^3 = 0[/tex]. Ora, una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)^2[/tex] è [tex](1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/tex].
Adesso, scegliamo un vettore di [tex]\ker (A - 2I_4)^3 = \mathbb R^4[/tex] che non appartenga a [tex]\ker (A - 2I_4)^2[/tex]. Ad esempio, [tex]e_2 = (0,1,0,0)[/tex] va benissimo. I vettori [tex](A - 2I_4)^2 e_2 = (-1,0,-1,-1), (A - 2I_4) e_2 = (1,0,1,0), e_2 = (0,1,0,0)[/tex] formano una prima parte della base di Jordan, corrispondente ad un blocco di lunghezza 3.
Seguendo sempre l'algoritmo, bisogna completare [tex](1,0,1,0)[/tex] ad una base del quoziente [tex]\ker (A - 2I_4)^2 / \ker (A - 2I_4)[/tex]. Osserviamo tuttavia, che questo oggetto ha dimensione 1, quindi a questo passo l'algoritmo non produce vettori (infatti, è ormai evidente che ci saranno un blocco da 3 ed un blocco da 1). Finalmente, dobbiamo completare [tex](-1,0,-1,-1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2I_4)[/tex]. Possiamo aggiungere, ad esempio, [tex](1,0,0,1)[/tex].
Pertanto la nostra base di Jordan sarà [tex](-1,0,-1,-1), (1,0,1,0), (0,1,0,0) ( 1,0,0,1)[/tex]. Infatti, posto
[tex]P = \left( \begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
otteniamo
[tex]P^{-1} (A - 2I_4) P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
(quest'ultimo conto me l'ha controllato Maple!)
[tex](A - 2I_4)^2 = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
e [tex](A - 2I_4)^3 = 0[/tex]. Ora, una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)^2[/tex] è [tex](1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/tex].
Adesso, scegliamo un vettore di [tex]\ker (A - 2I_4)^3 = \mathbb R^4[/tex] che non appartenga a [tex]\ker (A - 2I_4)^2[/tex]. Ad esempio, [tex]e_2 = (0,1,0,0)[/tex] va benissimo. I vettori [tex](A - 2I_4)^2 e_2 = (-1,0,-1,-1), (A - 2I_4) e_2 = (1,0,1,0), e_2 = (0,1,0,0)[/tex] formano una prima parte della base di Jordan, corrispondente ad un blocco di lunghezza 3.
Seguendo sempre l'algoritmo, bisogna completare [tex](1,0,1,0)[/tex] ad una base del quoziente [tex]\ker (A - 2I_4)^2 / \ker (A - 2I_4)[/tex]. Osserviamo tuttavia, che questo oggetto ha dimensione 1, quindi a questo passo l'algoritmo non produce vettori (infatti, è ormai evidente che ci saranno un blocco da 3 ed un blocco da 1). Finalmente, dobbiamo completare [tex](-1,0,-1,-1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2I_4)[/tex]. Possiamo aggiungere, ad esempio, [tex](1,0,0,1)[/tex].
Pertanto la nostra base di Jordan sarà [tex](-1,0,-1,-1), (1,0,1,0), (0,1,0,0) ( 1,0,0,1)[/tex]. Infatti, posto
[tex]P = \left( \begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
otteniamo
[tex]P^{-1} (A - 2I_4) P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
(quest'ultimo conto me l'ha controllato Maple!)
"maurer":Grazie mille della risposta, ma non ho capito la prima parte...
Innanzi tutto, sbagli la base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex], che ha dimensione 2. Quella corretta è [tex](1,0,0,1),(0,0,1,0)[/tex]. Poi
[tex](A - 2I_4)^2 = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
e [tex](A - 2I_4)^3 = 0[/tex]. Ora, una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)^2[/tex] è [tex](1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)[/tex].
Adesso, scegliamo un vettore di [tex]\ker (A - 2I_4)^3 = \mathbb R^4[/tex] che non appartenga a [tex]\ker (A - 2I_4)^2[/tex]. Ad esempio, [tex]e_2 = (0,1,0,0)[/tex] va benissimo. I vettori [tex](A - 2I_4)^2 e_2 = (-1,0,-1,-1), (A - 2I_4) e_2 = (1,0,1,0), e_2 = (0,1,0,0)[/tex] formano una prima parte della base di Jordan, corrispondente ad un blocco di lunghezza 3.
Seguendo sempre l'algoritmo, bisogna completare [tex](1,0,1,0)[/tex] ad una base del quoziente [tex]\ker (A - 2I_4)^2 / \ker (A - 2I_4)[/tex]. Osserviamo tuttavia, che questo oggetto ha dimensione 1, quindi a questo passo l'algoritmo non produce vettori (infatti, è ormai evidente che ci saranno un blocco da 3 ed un blocco da 1). Finalmente, dobbiamo completare [tex](-1,0,-1,-1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2I_4)[/tex]. Possiamo aggiungere, ad esempio, [tex](1,0,0,1)[/tex].
Pertanto la nostra base di Jordan sarà [tex](-1,0,-1,-1), (1,0,1,0), (0,1,0,0) ( 1,0,0,1)[/tex]. Infatti, posto
[tex]P = \left( \begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
otteniamo
[tex]P^{-1} (A - 2I_4) P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/tex]
(quest'ultimo conto me l'ha controllato Maple!)
La mia matrice $A-2I_4$ è:
[tex]A - 2I_4= \left( \begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
Dunque il ker ha dimensione 3...come hai fatto ad ottenere la prima base?
Ok, ho sbagliato io a fare il primissimo conto.
Dunque, la matrice è quella, quindi va bene la tua base. Prendi un vettore di [tex]\ker (A - 2 I_4)^2 = \mathbb R^4[/tex] non appartenente a [tex]\ker (A - 2 I_4)^2[/tex]. Ad esempio, [tex]e_4[/tex] va bene. Allora avrai che [tex](A - 2 I_4) e_4 = (1,0,1,1), e_4[/tex] formano una prima parte della base di Jordan (corrispondente ad un blocco di lunghezza 2).
L'algoritmo ora prevede di completare [tex](1,0,1,1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex]. Ad esempio, puoi aggiungere [tex](1,1,0,0),(1,0,0,1)[/tex]. A questo punto la tua base di Jordan sarà [tex](1,0,1,1),(0,0,0,1),(1,1,0,0,),(1,0,0,1)[/tex]. Posto
[tex]P = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
ottieni
[tex]P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/tex]
L'esercizio che ho fatto prima (con la matrice alterata) è forse leggermente più articolato, puoi provare a farlo (visto che hai anche lo svolgimento) se ti senti insicuro.
Dunque, la matrice è quella, quindi va bene la tua base. Prendi un vettore di [tex]\ker (A - 2 I_4)^2 = \mathbb R^4[/tex] non appartenente a [tex]\ker (A - 2 I_4)^2[/tex]. Ad esempio, [tex]e_4[/tex] va bene. Allora avrai che [tex](A - 2 I_4) e_4 = (1,0,1,1), e_4[/tex] formano una prima parte della base di Jordan (corrispondente ad un blocco di lunghezza 2).
L'algoritmo ora prevede di completare [tex](1,0,1,1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex]. Ad esempio, puoi aggiungere [tex](1,1,0,0),(1,0,0,1)[/tex]. A questo punto la tua base di Jordan sarà [tex](1,0,1,1),(0,0,0,1),(1,1,0,0,),(1,0,0,1)[/tex]. Posto
[tex]P = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
ottieni
[tex]P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/tex]
L'esercizio che ho fatto prima (con la matrice alterata) è forse leggermente più articolato, puoi provare a farlo (visto che hai anche lo svolgimento) se ti senti insicuro.
Ecco è questo il passaggio che non mi è chiaro
Io per trovare la base ho sempre moltiplicato l'ultimo vettore per le matrici trovate in precenza... ed ovviamente ottenevo 0...come hai fatto a trovare i vettori [tex](1,1,0,0),(1,0,0,1)[/tex] ?
"maurer":
L'algoritmo ora prevede di completare [tex](1,0,1,1)[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex]. Ad esempio, puoi aggiungere [tex](1,1,0,0),(1,0,0,1)[/tex]. A questo punto la tua base di Jordan sarà [tex](1,0,1,1),(0,0,0,1),(1,1,0,0,),(1,0,0,1)[/tex]
Io per trovare la base ho sempre moltiplicato l'ultimo vettore per le matrici trovate in precenza... ed ovviamente ottenevo 0...come hai fatto a trovare i vettori [tex](1,1,0,0),(1,0,0,1)[/tex] ?
Ma l'ho scritto, no? Completando [tex](A - 2 I_4)e_4[/tex] ad una base di [tex]\ker (A - 2 I_4)[/tex]!
Mi sa che non hai chiaro l'algoritmo generale per il calcolo della forma di Jordan. Potresti provare a descriverlo in assoluta generalità?
Mi sa che non hai chiaro l'algoritmo generale per il calcolo della forma di Jordan. Potresti provare a descriverlo in assoluta generalità?
Si in effetti riguardo questo argomento ho qualche problema... Quello che ho capito è: se una matrice ha un polinomio caratteristico che è un prodotto di fattori lineari allora è simile ad una matrice di Jordan. Dunque si scelgono le basi degli autospazi generalizzati. Data $B$ l'unione di queste basi, $S^-1 A S=J$
La parte che mi frega è quella di formare la base di jordan, ossia applicare il vettore trovato alle varie matrici...
Purtroppo riguardo l'algoritmo nei miei testi non ho trovato un granché e nemmeno su internet...
La parte che mi frega è quella di formare la base di jordan, ossia applicare il vettore trovato alle varie matrici...
Purtroppo riguardo l'algoritmo nei miei testi non ho trovato un granché e nemmeno su internet...
Infatti, come temevo, hai capito più o meno il contrario della verità. Elenco sotto i fatti salienti, ma adesso non ho il tempo materiale per mettermi a sviluppare tutta la teoria di Jordan sul forum! Di testi dove studiarli ce ne dovrebbero essere. Il Sernesi ne parla, ma c'è sempre l'annosa questione se è un libro da consigliare o no. Se esistono ancora online, ti consiglio di leggere quelli di Candilera: io ho studiato lì e sono davvero eccezionali. In ogni caso:
1) se il polinomio caratteristico della matrice [tex]A[/tex] ha tutte le radici nel campo in cui lavoriamo, allora [tex]A[/tex] è sempre simile ad una matrice in forma canonica di Jordan;
2) la matrice A è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo è prodotto di fattori lineari.
In generale non basta scegliere una base qualsiasi degli autospazi generalizzati per ottenere la forma canonica di Jordan: occorre fare una scelta oculata ed è a quello che serve l'algoritmo.
1) se il polinomio caratteristico della matrice [tex]A[/tex] ha tutte le radici nel campo in cui lavoriamo, allora [tex]A[/tex] è sempre simile ad una matrice in forma canonica di Jordan;
2) la matrice A è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo è prodotto di fattori lineari.
In generale non basta scegliere una base qualsiasi degli autospazi generalizzati per ottenere la forma canonica di Jordan: occorre fare una scelta oculata ed è a quello che serve l'algoritmo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo