Aiuto con la ricerca di una base
Ciao a tutti.
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio sugli spazi vettoriali con la quale sto avendo difficoltà.
"Si consideri la matrice $A = [[1,-2],[2,-4]]$ e si definiscano gli insiemi
\[
V = \{ X \in \mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R}) | AX = O \}; \qquad W = \{ Y \in \mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R}) | YA = O \}.
\]
Dimostrare che $V, W$ sono sottospazi di $\mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R})$, trovare una base e la dimensione di $V, W, V + W, V \cap W$."
Dopo aver dimostrato che effettivamente $V, W$ sono sottospazi di $\mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R})$, ho cominciato a pensare alla forma di una base ipotetica di $V, W$ (i cui elementi sono ovviamente matrici $2 \times 2$). L'unica che mi viene in mente e che rispetta la condizione degli insiemi $V, W$ (ossia il fatto che il prodotto dei loro elementi per la matrice $A$ risultano nella matrice zero $O$) è la matrice zero stessa!
Avete qualche dritta da darmi?
Grazie
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio sugli spazi vettoriali con la quale sto avendo difficoltà.
"Si consideri la matrice $A = [[1,-2],[2,-4]]$ e si definiscano gli insiemi
\[
V = \{ X \in \mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R}) | AX = O \}; \qquad W = \{ Y \in \mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R}) | YA = O \}.
\]
Dimostrare che $V, W$ sono sottospazi di $\mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R})$, trovare una base e la dimensione di $V, W, V + W, V \cap W$."
Dopo aver dimostrato che effettivamente $V, W$ sono sottospazi di $\mathbb{M}^{2 \times 2} (\mathbb{R})$, ho cominciato a pensare alla forma di una base ipotetica di $V, W$ (i cui elementi sono ovviamente matrici $2 \times 2$). L'unica che mi viene in mente e che rispetta la condizione degli insiemi $V, W$ (ossia il fatto che il prodotto dei loro elementi per la matrice $A$ risultano nella matrice zero $O$) è la matrice zero stessa!
Avete qualche dritta da darmi?
Grazie
Risposte
Suggerimento: scrivi la generica matrice \(\displaystyle X\).
Se prendiamo una matrice generica $ X = [ ( a , b ),( c , d ) ] $ otteniamo che $ AX = [ ( a-2c , b-2d ),( 2a-4c , 2b-4d ) ] $ ,
applicando la condizione di appartenenza al sottospazio $ V $ si ottiene un sistema di due equazioni a quattro incognite. Risolvendo, otteniamo che $ a = 2c $ e $ b=2d $ , le altre variabili invece sono libere.
Ora sostituiamo: $ X =[ ( 2c , 2d ),( c , d ) ] = c[ ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) ] + d [ (0,2),(0,1)] $
Quindi una base di $ V $ è formata da $ [ ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) ] $ e $ [ (0,2),(0,1)] $
Puoi usare lo stesso procedimento per trovare una base di $ W $
applicando la condizione di appartenenza al sottospazio $ V $ si ottiene un sistema di due equazioni a quattro incognite. Risolvendo, otteniamo che $ a = 2c $ e $ b=2d $ , le altre variabili invece sono libere.
Ora sostituiamo: $ X =[ ( 2c , 2d ),( c , d ) ] = c[ ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) ] + d [ (0,2),(0,1)] $
Quindi una base di $ V $ è formata da $ [ ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) ] $ e $ [ (0,2),(0,1)] $
Puoi usare lo stesso procedimento per trovare una base di $ W $
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