Aiuto con esercizio di geometria
ragazzi potete aiutarmi a capire come risolvere esercizi di questo genere.....grazie a tutti anticipatamente
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono- metrico ortogonale, si considerino il punto P (2, 3, −1), la retta r contenente i punti A(1, 2, −2), B(−1, 3, 0) ed il piano TT di equazione 2x + y + 1 = 0.
a)Determinare l’equazione del piano contenente P, ortogonale a TT e parallelo a r.
b) Determinare l’equazione del piano contenente r e parallelo alla retta s di equazioni x+y+1 = 0 e y+z−1 = 0.
c) Determinare una rappresentazione per la retta passante per P, ortogonale e incidente la retta r
d) Determinare una rappresentazione per la retta passante per Q(1, 1, −1), parallela TT e ortogonale a r.
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono- metrico ortogonale, si considerino il punto P (2, 3, −1), la retta r contenente i punti A(1, 2, −2), B(−1, 3, 0) ed il piano TT di equazione 2x + y + 1 = 0.
a)Determinare l’equazione del piano contenente P, ortogonale a TT e parallelo a r.
b) Determinare l’equazione del piano contenente r e parallelo alla retta s di equazioni x+y+1 = 0 e y+z−1 = 0.
c) Determinare una rappresentazione per la retta passante per P, ortogonale e incidente la retta r
d) Determinare una rappresentazione per la retta passante per Q(1, 1, −1), parallela TT e ortogonale a r.
Risposte
Per il primo esercizio, io ho imposto il passaggio per $P$, ho imposto che $(a,b,c)*(2,1,0)=0$ e che $(a,b,c)*(2,-1,-2)=0$, dove $(2,-1,-2)=V_r$
Per il secondo, sfrutta il fascio proprio di piani $alpha(ax+by+cz+d)+beta(a'x+b'y+c'z+d')=0$ e poi imponi l'ortogonalità tra il vettore direttore e il vettore normale.
Per il terzo, imponi l'ortgonalità tra i vettori direttori (prodotto scalare $=0$), e poi che siano incidenti. Perché siano incidenti, $((R-S),(V_r),(V_s))=0$ dove $R$ e $S$ sono punti qualunque della retta $r$ e $s$
Per il quarto: ortogonalità tra il vettore direttore della retta e il vettore normale, e poi l'ortogonalità tra i due vettori direttori delle due rette.
Per il secondo, sfrutta il fascio proprio di piani $alpha(ax+by+cz+d)+beta(a'x+b'y+c'z+d')=0$ e poi imponi l'ortogonalità tra il vettore direttore e il vettore normale.
Per il terzo, imponi l'ortgonalità tra i vettori direttori (prodotto scalare $=0$), e poi che siano incidenti. Perché siano incidenti, $((R-S),(V_r),(V_s))=0$ dove $R$ e $S$ sono punti qualunque della retta $r$ e $s$
Per il quarto: ortogonalità tra il vettore direttore della retta e il vettore normale, e poi l'ortogonalità tra i due vettori direttori delle due rette.
si, ma per esempio dal primo quesito, come faccio ad avere questa soluzione (x − 2y + 2z + 6 = 09)??
Passaggio per $P -> 2a+3b-c+d=0$
$(a,b,c)*(2,1,0)=0 -> 2a+b=0$ Perché il piano deve essere parallelo alla retta
$(a,b,c)*(2,-1,-2)=0 -> 2a-b-2c=0$ Perché deve essere ortogonale a $pi$
$\{(2a+3b-c+d=0),(2a+b=0),(2a-b-2c=0):}$
$\{(a=1),(b=-2),(c=2),(d=6):}$
$pi=x-2y+2z+6=0$
$(a,b,c)*(2,1,0)=0 -> 2a+b=0$ Perché il piano deve essere parallelo alla retta
$(a,b,c)*(2,-1,-2)=0 -> 2a-b-2c=0$ Perché deve essere ortogonale a $pi$
$\{(2a+3b-c+d=0),(2a+b=0),(2a-b-2c=0):}$
$\{(a=1),(b=-2),(c=2),(d=6):}$
$pi=x-2y+2z+6=0$
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