Aiuto con alcune dimostrazioni di Algebra Lineare.
Ciao a tutti, devo imparare una 30ina circa di dimostrazioni x l'esame.
Ora mi trovo d averle imparate e (credo
) anche capite molte. Purtroppo alcune ancor nn le trovo (o nn riesco a capirle).
Provero' qua a postare alcune dimostrazioni con le quali ho problemi. Se qualcuni in qualche modo mi puo' aiutare gliene sarei grato.
1. dimostrare che gli autovalori di una matrice quadrata $nxn$ coincidono con le radici reali del polinomio caratteristico.
2. usando il principio del buon ordinamento dimostrare il principio d'induzione matematica.
3. dimostrare che le operazioni elementari trasformano sys algebrici in in sys equivalenti.
4. provare che ogni spazio vett di dimensione n è isomorfo ad $RR^n$.
5. provare che spaz vett isomorfi hanno la stessa dim.
(Alcune mie considerazioni):
5.: Ma se sono isomorfi, basterebbe usare la definizione di isomorfo: $T: V -> W$ è un applicazione biettiva $f$ tra 2 strutture della stessa specie, t.c. $f$ e $f^(-1)$ sono omomorfi. quindi non basta dire: se $V$ ha una dimensione $n$, allora anche $W$ deve essere della stessa dimensione, altrimenti non ci sarebbe la biettivita'.
4.: posso usare lo stesso meccanismo che ho usato sopra per il punto 5.
2.: da qalche parte in internet ho trovato questa dim: sia $A$ un sottoinsieme di $N$ che contiene lo $0$ e t.c. se contiene $n$ contiene anche lo $n+1$. consideriamo il complementare di $N-A$, mostriamo che è vuoto usando il P.B.O.
Se non fosse vuoto, per il PBO conterrebbe un numero minimo $m$ che non puo' essere lo $0$ (dato che lo $0$ appartiene ad A). quindi c'è un predecessore $m-1$ che nn puo' trovarsi in $N-A$ (dato che il suo min è $m$) e che quindi si trova in $A$. Ma dalla definizione di $A$ sappiamo che se contiene $n = m-1$ deve contenere anche il suo successivo $n+1 = m$ ma non è così. Da questa contraddizione concludiamo che $N-A$ fosse non vuoto.
3.: sia $(v_1, .., v_n)$ una soluzione di $Ax = b$,, allora $v_1, .., v_n$ soddisfano tutte le equazioni del sys; in particollare:
$\{(a_1v_1 + ... + a_nv_n = a),(b_1v_1 + ... + b_nv_n = b):}$
per il quale $v_1, .., v_n$ è anche una soluzione e quindi anche di $A'x = b'$ in quanto le altre equazioni non sono cambiate.
mii sapete dare 1 mano? grz.
Ora mi trovo d averle imparate e (credo
) anche capite molte. Purtroppo alcune ancor nn le trovo (o nn riesco a capirle).Provero' qua a postare alcune dimostrazioni con le quali ho problemi. Se qualcuni in qualche modo mi puo' aiutare gliene sarei grato.
1. dimostrare che gli autovalori di una matrice quadrata $nxn$ coincidono con le radici reali del polinomio caratteristico.
2. usando il principio del buon ordinamento dimostrare il principio d'induzione matematica.
3. dimostrare che le operazioni elementari trasformano sys algebrici in in sys equivalenti.
4. provare che ogni spazio vett di dimensione n è isomorfo ad $RR^n$.
5. provare che spaz vett isomorfi hanno la stessa dim.
(Alcune mie considerazioni):
5.: Ma se sono isomorfi, basterebbe usare la definizione di isomorfo: $T: V -> W$ è un applicazione biettiva $f$ tra 2 strutture della stessa specie, t.c. $f$ e $f^(-1)$ sono omomorfi. quindi non basta dire: se $V$ ha una dimensione $n$, allora anche $W$ deve essere della stessa dimensione, altrimenti non ci sarebbe la biettivita'.
4.: posso usare lo stesso meccanismo che ho usato sopra per il punto 5.
2.: da qalche parte in internet ho trovato questa dim: sia $A$ un sottoinsieme di $N$ che contiene lo $0$ e t.c. se contiene $n$ contiene anche lo $n+1$. consideriamo il complementare di $N-A$, mostriamo che è vuoto usando il P.B.O.
Se non fosse vuoto, per il PBO conterrebbe un numero minimo $m$ che non puo' essere lo $0$ (dato che lo $0$ appartiene ad A). quindi c'è un predecessore $m-1$ che nn puo' trovarsi in $N-A$ (dato che il suo min è $m$) e che quindi si trova in $A$. Ma dalla definizione di $A$ sappiamo che se contiene $n = m-1$ deve contenere anche il suo successivo $n+1 = m$ ma non è così. Da questa contraddizione concludiamo che $N-A$ fosse non vuoto.
3.: sia $(v_1, .., v_n)$ una soluzione di $Ax = b$,, allora $v_1, .., v_n$ soddisfano tutte le equazioni del sys; in particollare:
$\{(a_1v_1 + ... + a_nv_n = a),(b_1v_1 + ... + b_nv_n = b):}$
per il quale $v_1, .., v_n$ è anche una soluzione e quindi anche di $A'x = b'$ in quanto le altre equazioni non sono cambiate.
mii sapete dare 1 mano? grz.
Risposte
Ecco cosa ne penso io:
5: perché puoi dire che se $V$ e $W$ sono isomorfi devono avere lo stesso numero di elementi di base?
4: una volta risolto 5, hai fatto!
2: mi pare che funzioni.
3: non ho ben capito cosa intendi.
1: è ua questione di definizione di polinomio caratteristico.
5: perché puoi dire che se $V$ e $W$ sono isomorfi devono avere lo stesso numero di elementi di base?
4: una volta risolto 5, hai fatto!
2: mi pare che funzioni.
3: non ho ben capito cosa intendi.
1: è ua questione di definizione di polinomio caratteristico.
"Sergio":
Dimostrerei la 4 prima della 5.
4. Per provare l'isomorfismo, basta considerare che l'applicazione che converte un vettore di $n$ elementi in una $n$-upla di coordinate (quindi in un vettore di $RR^n$) è biiettiva.
5. Un isomorfismo stabilisce una relazione di equivalenza; se $V$ e $W$ sono isomorfi, e se $V$ è isomorfo a $RR^n$ - ed ha quindi dimensione $n$, anche $W$ è isomorfo a $RR^n$ - ed ha dimensione $n$.
Questione di punti di vista.
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