Aiuto comprensione esercizio
Mi sono imbattuto in questo esercizio di algebra lineare sulle applicazioni lineari dove non sto capendo nulla su come precedere poichè è la prima volta che ne trovo uno di questo tipo.
Qualcuno, gentilmente, potrebbe darmi lo spunto/ idea su come agire? Con le mie conoscenze teoriche non riesco davvero a partire. Grazie
Sia $k in RR$ un parametro.
$1)$ Si stabilisca per quali valori di $k$ esiste un'applicazione lineare $Fk:M2(RR) -> M2(RR)$ con le seguenti proprietà:
$Fk([[1,k],[0,1]])=[[1,0],[0,1]]$
$Fk([[1,0],[0,1]])=[[0,0],[1,1]]$
$Fk([[1,2],[2,1]])=[[2,0],[1,3]]$
$Fk([[1,1],[0,k]])=[[1,0],[0,0]]$
$2)$ con i valori di $k$ trovati stabilire se
$M2(RR)=ker(Fk)+Im(Fk)$ è una somma diretta
Personalmente per il punto $1)$ non saprei proprio come procedere mentre per il punto $2$ saprei muovermi solo "teoricamente" nel senso che dovrei trovare il $ker(Fk)$ e $Im(Fk)$ (ma come?) e poi verificare che contemporaneamente $M2(RR)=ker(Fk)+Im(Fk)$ e $ker(Fk) nn Im(Fk)={0}$
Grazie
Qualcuno, gentilmente, potrebbe darmi lo spunto/ idea su come agire? Con le mie conoscenze teoriche non riesco davvero a partire. Grazie
Sia $k in RR$ un parametro.
$1)$ Si stabilisca per quali valori di $k$ esiste un'applicazione lineare $Fk:M2(RR) -> M2(RR)$ con le seguenti proprietà:
$Fk([[1,k],[0,1]])=[[1,0],[0,1]]$
$Fk([[1,0],[0,1]])=[[0,0],[1,1]]$
$Fk([[1,2],[2,1]])=[[2,0],[1,3]]$
$Fk([[1,1],[0,k]])=[[1,0],[0,0]]$
$2)$ con i valori di $k$ trovati stabilire se
$M2(RR)=ker(Fk)+Im(Fk)$ è una somma diretta
Personalmente per il punto $1)$ non saprei proprio come procedere mentre per il punto $2$ saprei muovermi solo "teoricamente" nel senso che dovrei trovare il $ker(Fk)$ e $Im(Fk)$ (ma come?) e poi verificare che contemporaneamente $M2(RR)=ker(Fk)+Im(Fk)$ e $ker(Fk) nn Im(Fk)={0}$
Grazie
Risposte
Andiamo a guardare alcune immagini di $F_k$:
$ [[1,0],[0,1]] , [[0,0],[1,1]] , [[1,0],[0,0]] $
Questi vettori sono linearmente indipendenti, dunque devono provenire da vettori indipendenti. Dunque l'unica condizione che abbiamo sul parametro k è che il sistema di vettori:
$ [[1,k],[0,1]] , [[1,0],[0,1]] , [[1,1],[0,k]] $ sia linearmente indipendente.
Dunque fai una generica combinazione lineare e la poni uguale alla matrice nulla. Ottieni un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (i coefficienti della combinazione) (ovviamente sono 4 le equazioni ma una è 0=0) e imponi che deve avere solo la soluzione banale, ovvero che il rango dell'incompleta sia 3. Otterrai $k\ne 0$ e $k\ne 1$.
Con queste condizioni si ha che l'altro vettore è pure linearmente indipendente con gli altri 3, dunque conosci l'azione di $F_k$ su una base di $M_2(\mathbb{R})$.
Questo è un po' più di uno spunto ma magari ti chiarisce un po' le idee.
$ [[1,0],[0,1]] , [[0,0],[1,1]] , [[1,0],[0,0]] $
Questi vettori sono linearmente indipendenti, dunque devono provenire da vettori indipendenti. Dunque l'unica condizione che abbiamo sul parametro k è che il sistema di vettori:
$ [[1,k],[0,1]] , [[1,0],[0,1]] , [[1,1],[0,k]] $ sia linearmente indipendente.
Dunque fai una generica combinazione lineare e la poni uguale alla matrice nulla. Ottieni un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (i coefficienti della combinazione) (ovviamente sono 4 le equazioni ma una è 0=0) e imponi che deve avere solo la soluzione banale, ovvero che il rango dell'incompleta sia 3. Otterrai $k\ne 0$ e $k\ne 1$.
Con queste condizioni si ha che l'altro vettore è pure linearmente indipendente con gli altri 3, dunque conosci l'azione di $F_k$ su una base di $M_2(\mathbb{R})$.
Questo è un po' più di uno spunto ma magari ti chiarisce un po' le idee.
Onestamente la risposta mi ha molto spiazzato perché non abbiamo mai parlato di matrici in maniera così approfondita e soprattutto applicate(scusa il gioco di parole) ad applicazioni lineari.
Quindi ho capito ben poco di cosa dovrei fare nel punto $1)$ e le mie poco certezze del punto $2)$ sono crollate!
Solo come concetto teorico ci è stato detto che una funzione è invertibile se la matrice associata a $f:V->W$ detta $X$ e la matrice associata a $g:W->V$ detta $Y$ allora
$X*Y=I=Y*X$ con $I$ matrice diagonale identità.
Spero tu possa chiarirmi le idee... grazie
Quindi ho capito ben poco di cosa dovrei fare nel punto $1)$ e le mie poco certezze del punto $2)$ sono crollate!
Solo come concetto teorico ci è stato detto che una funzione è invertibile se la matrice associata a $f:V->W$ detta $X$ e la matrice associata a $g:W->V$ detta $Y$ allora
$X*Y=I=Y*X$ con $I$ matrice diagonale identità.
Spero tu possa chiarirmi le idee... grazie
Consiglio: vettori linearmente indipendenti nell'immagine di una funzione lineare devono derivare da vettori linearmente indipendenti nel dominio.
Prova a dimostrarlo (lo puoi fare sfruttando il fatto che $f(0)=0$) e vedi come applicarlo in questo caso qui
Prova a dimostrarlo (lo puoi fare sfruttando il fatto che $f(0)=0$) e vedi come applicarlo in questo caso qui
@Sergio
Non sono sicuro che Aletzunny sia uno studente universitario … o meglio, non ho ancora capito bene cosa stia studiando
Non sono sicuro che Aletzunny sia uno studente universitario … o meglio, non ho ancora capito bene cosa stia studiando
@Sergio
Concordo con Alex. Non è in grado ne di risolvere, ne di comprendere ancora esercizi di questo tipo ancora.
Aletzunny è un bravissimo ragazzo che si impegna per portarsi avanti ma tende a farlo risolvendo esercizi presi a casaccio in rete, senza avere ancora le basi teoriche.
Sergio, se posso ti faccio solo una piccola osservazione. Stai proponendo di risolvere l'esercizio trovando i valori di k per cui $M_k$ è invertibile. Questo porta ad escludere automaticamente i valori $k=0,1$
Ma in realtà non è automatico che per quei valori non esista una matrice F.
Spiego meglio, $det(M)!=0$ allora $F=MM_k^(-1) rArr det(F)=det(M)*det(M_k^(-1))!=0$
Quindi F è non singolare ed effettivamente esiste un'unica soluzione per $k!=0,1$
Ma qui $det(M)=0$ quindi F è sempre singolare e in realtà potrebbero esistere infinite matrici F che per $k=0$ o $k=1$ soddisfano i vincoli.
Insomma bisogna andare a guardare...e si scopre che non c'è soluzione per quei valori.
Ma per esempio cambiassi il primo vincolo in questo modo $Fk([[1,k],[0,1]])=[[0,0],[1,1]]$ e ragionassi solo per trovare $M_k^(-1)$ allora perderei soluzioni. Infatti per $k=0$ ci sono infinite $F_0$ che soddisfano i vincoli.
Insomma, il tutto dipende anche dalla matrice M (se è singolare o meno).
Concordo con Alex. Non è in grado ne di risolvere, ne di comprendere ancora esercizi di questo tipo ancora.
Aletzunny è un bravissimo ragazzo che si impegna per portarsi avanti ma tende a farlo risolvendo esercizi presi a casaccio in rete, senza avere ancora le basi teoriche.
Sergio, se posso ti faccio solo una piccola osservazione. Stai proponendo di risolvere l'esercizio trovando i valori di k per cui $M_k$ è invertibile. Questo porta ad escludere automaticamente i valori $k=0,1$
Ma in realtà non è automatico che per quei valori non esista una matrice F.
Spiego meglio, $det(M)!=0$ allora $F=MM_k^(-1) rArr det(F)=det(M)*det(M_k^(-1))!=0$
Quindi F è non singolare ed effettivamente esiste un'unica soluzione per $k!=0,1$
Ma qui $det(M)=0$ quindi F è sempre singolare e in realtà potrebbero esistere infinite matrici F che per $k=0$ o $k=1$ soddisfano i vincoli.
Insomma bisogna andare a guardare...e si scopre che non c'è soluzione per quei valori.
Ma per esempio cambiassi il primo vincolo in questo modo $Fk([[1,k],[0,1]])=[[0,0],[1,1]]$ e ragionassi solo per trovare $M_k^(-1)$ allora perderei soluzioni. Infatti per $k=0$ ci sono infinite $F_0$ che soddisfano i vincoli.
Insomma, il tutto dipende anche dalla matrice M (se è singolare o meno).
Allora voglio fare chiarezza! Ho il libro di Marco Abate ma sto, da poco, seguendo in università il corso di algebra lineare e vi posso assicurare che di $LA(x)=A*x$ ne abbiamo parlato veramente poco! Ad oggi io non so cosa sia il rango e il determinante di una matrice e l'unica condizione sull'invertibilità è quello che ho scritto, dimenticando di scrivere (poiché a lezione è stato detto a voce dopo) che $g$ era l'inversa di $f$.
Questo esercizio non è preso a casaccio da internet ma è una simulazione d'esame degli anni precedenti ma a quanto pare al punto dove siamo arrivati oggi non ho ancora tutte le conoscenze per risolverlo
Questo esercizio non è preso a casaccio da internet ma è una simulazione d'esame degli anni precedenti ma a quanto pare al punto dove siamo arrivati oggi non ho ancora tutte le conoscenze per risolverlo
@Aletzunny
Scusa se te lo domando ma è per capire: ora sei iscritto all'Università? In quale corso? L'anno scorso non frequentavi la quarta liceo? Nel post di un paio di settimane fa dicevi che stavi frequentando un corso pomeridiano di tipo universitario ma per studenti delle superiori, quindi sorge spontanea la domanda: sei ancora alle superiori oppure all'università?
Ti chiedo questo, non per farmi gli affari tuoi ma per aiutarci ad aiutarti (perché in fin dei conti quello che ci perde dalla confusione sei tu
)
Comunque, a mio parere, affrontare temi d'esame degli anni precedenti quando ancora non hai le basi (rango, determinante, …) non mi sembra una grande idea … IMHO
Cordialmente, Alex
Scusa se te lo domando ma è per capire: ora sei iscritto all'Università? In quale corso? L'anno scorso non frequentavi la quarta liceo? Nel post di un paio di settimane fa dicevi che stavi frequentando un corso pomeridiano di tipo universitario ma per studenti delle superiori, quindi sorge spontanea la domanda: sei ancora alle superiori oppure all'università?
Ti chiedo questo, non per farmi gli affari tuoi ma per aiutarci ad aiutarti (perché in fin dei conti quello che ci perde dalla confusione sei tu
)Comunque, a mio parere, affrontare temi d'esame degli anni precedenti quando ancora non hai le basi (rango, determinante, …) non mi sembra una grande idea … IMHO
Cordialmente, Alex
No frequentavo la quinta liceo e quest' anno ero molto dubbioso su cosa fare! Quindi ho trovato appunto quel corso di un mesetto e l'ho frequentato...poi ho deciso, forse sbagliando, di iscrivermi a Matematica all'Università.
"Aletzunny":
al punto dove siamo arrivati oggi non ho ancora tutte le conoscenze per risolverlo
Esatto.
Il mio consiglio è "dimentica l'idea di usare procedure meccaniche".
Quando avrai comprso cosa stai facendo, questo esercizio lo risolverai ad occhi chiusi in tre modi diversi.
Io ti suggerisco fermamente di fare quello che in genere lo studente non fa, ovvero ragionare su una matrice: per esempio, ciò che ha scritto Sergio è verissimo, molti non sanno nemmeno che:
$ ( ( 3 , 1 ),( -1 , 0 ) ) ( ( x ),( y ) ) = x( ( 3 ),( -1 ) )+y( ( 1 ),( 0 ) ) $
e il significato è immediato, ovvero l'immagine creata dall'applicazione $ ( ( 3 , 1 ),( -1 , 0 ) )$ è una combinazione lineare delle sue colonne. In pratica racchiude in se il significato stesso di applicazione.
Gioca con le matrici di ogni tipo e a comprendere cosa fanno, trova i kernel e le immagini. Impara Gauss Jordan al punto che riuscirai a farlo dormendo. Il determinante è utile in certe situazioni ma non è affatto necessario in generale: Gauss Jordan ti darà molte più informazioni di un determinante e lo userai per tutto, anche per invertire le matrici. Esercitati con un paio di decomposizioni tipo LU e impara a parametrizzare le equazioni cartesiane. Infine, gioca un po' con i vettori geometrici (senza componenti) .
Quando avrai fatto ciò, ti sarà enormemente più facile fare tutto il resto.
Ora però devi rispondere ad Alex, perchè sono curioso pure io.
Ho risposto sopra!
È un po' presto per tirare conclusioni e dire che stai sbagliando; quello che mi lascia perplesso invece è il tuo approccio: hai troppa fretta, troppa voglia di sapere "tutto e subito" (che senso ha fare esercizi da esame ad ottobre?) e ciò va a scapito della precisione, porta a poca formalità e aumenta la confusione.
IMHO prendila con più calma
IMHO prendila con più calma
Purtroppo tra 2 settimane ho un parziale su queste cose e mi sembrava giusto esercitarmi su simulazioni
"Aletzunny":
Purtroppo tra 2 settimane ho un parziale su queste cose e mi sembrava giusto esercitarmi su simulazioni
Beh questo cambia tutto. A matematica non si scherza: il programma è assai più intensivo e chiedono che si imparino rapidamente tutti i concetti di fondo. I miei consigli restano comnque validi...dedica un paio di giorni a fare solo quello che ho proposto.
Per la logica dell'esercizio, rileggi il primo post di Sergio. Si può sempre associare una matrice (o un polinomio) ad un vettore (ovviamente) e partire da la con le solite tecniche. Una matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ la puoi sempre associare, ad esempio, ad un vettore $ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) $ (scegli tu l'ordine a piacere ma ricordatelo perchè alla fine farai la trasformazione inversa).
Ricorda anche i fatti basici, come per esempio che $ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) )= a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+b( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=ae_1+be_2+ce_3+de_4$
Come ho scritto nel post precedente, gli studenti tendono a dimenticare le cose banali, quando invece sono la chiave per ragionare e risolvere gli esercizi come questo.
Vediamo come applicare la cosa all'esercizio. Se uno mi dicesse hai una trasformazione F, io so che $FI=F$ è la trasformazione che manda la base canonica nell'immagine (vedi post precedente). Se mi hanno già dato F sono a posto ovviamente. Ma se invece mi danno le dei vettori complessi e le loro trasformazioni, allora cercherò di trovare appunto un modo per capire dove questa trasformazione manda la base canonica. Perchè? Perchè una volta che lo so, ho la trasformazione stessa $FI=F$
E allora cosa farei io? Prenderei $F_k([[1,k],[0,1]])=[[1,0],[0,1]]$ e la riscriverei come $F_k(1,k,0,1)=(1,0,0,1)$
Poi applicherei la banale decomposizione (di cui sopra) ad entrambi i vettori e applicherei la linearità:
$F_k(e_1+ke_2+e_4)=F(e_1)+kF(e_2)+F(e_4)=e_1+e_4$
Farei la medesima cosa per le altre tre condizioni e otterrei un sistema da cui ricavare le 4 $F_k(e_i)$ che non sono altro che le 4 colonne della mia matrice F. Infatti $F*e_1$ significa sommare il prodotto della prima colonna di F moltiplòicata per 1 + le altre colonne per 0, ergo si ottiene la prima colonna di F (e adesso vedi l'importanza di capire quello che Sergio ha sottolineato e che scritto nel post precedente. Le cose banali sono le prime che gli studenti disimparano e poi non sanno ragionare).
Ricava le altre tre equazioni, tienile da parte e risolvi il sistema. Nel farlo noterai che dovrai dividere per $k$ e per $k-1$, quindi segnati a parte che stai trovando la soluzione per $k!=0,1$
Alla fine otterrai:
$F(e_1)=-1/ke_1+(k+1)/ke_3+k/(k-1)e_4 rArr F[( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ]=( ( -1/k , 0 ),( (k+1)/k , k/(k-1) ) )$
$F(e_2)=1/ke_1-1/ke_3 rArr F[( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ]=( ( 1/k , 0 ),( -1/k , 0 ))$
$F(e_3)=(k-1)/ke_1+1/ke_3+e_4 rArr F[( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ]=( ( (k-1)/k , 0 ),( 1/k , 1) ) $
$F(e_4)=1/ke_1-1/ke_3+1/(1-k)e_4 rArr F[( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ]=( ( 1/k , 0 ),( -1/k , 1/(1-k) ) )$
Poi tornerei al sistema e sostituirei $k=0$ e $k=1$ per accertarmi che non vi siano soluzioni.
Grazie...appena sono a casa cerco di capirlo bene con i vostri consigli!
Grazie a te e a Bokonon per i consigli! Spero di riuscire a risolverlo
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