Aiuto base di Jordan

[enpires1]

Ciao a tutti mi serve un aiuto per calcolare una base B che porta una matrice A data nella sua forma di Jordan.
Ho la matrice:
$A=((0,0,1,0),(2,1,2,0),(-1,0,-2,0),(0,0,0,1))$

Il suo polinomio caratteristico è : $(x-1)^2(x+1)^2$
Quindi i suoi autovalori sono: $x=1$ (m.a. = 2; m.g. =2) e $x=-1$ (m.a. =2; m.g. =1)

Allora, la forma di Jordan è: $J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$

Il problema adesso è trovare la base B, i cui vettori, scritti in una matrice B come colonne, mi diano $B^(-1)AB=J$

Per quanto riguarda l'autovalore 1, prendo due vettori appartenenti a $Ker(A-I)$, nel mio caso $b_1=((1),(0),(0),(0))$ $b_2=((0),(1),(0),(0))$

Per l'autovalore -1, prendo un qualsiasi vettore appartenente a $Ker((A+I)^2)$ (ovvero un qualsiasi $v in RR^4$), nel mio caso ho scelto $b_3= ((0),(0),(1),(1))$
Per trovare l'altro vettore calcolo $b_4=Ab_3=((1),(2),(-1),(2))$

La mia matrice di cambiamento di base risulta essere quindi: $B=((0,1,1,0),(1,0,2,0),(0,0,-1,1),(0,0,2,1))$

Il problema è che $B^(-1)AB!=J$, dove ho sbagliato?

[franced]

"enpires":Ciao a tutti mi serve un aiuto per calcolare una base B che porta una matrice A data nella sua forma di Jordan.
Ho la matrice:
$A=((0,0,1,0),(2,1,2,0),(-1,0,-2,0),(0,0,0,1))$

Il suo polinomio caratteristico è : $(x-1)^2(x+1)^2$
Quindi i suoi autovalori sono: $x=1$ (m.a. = 2; m.g. =2) e $x=-1$ (m.a. =2; m.g. =1)

Allora, la forma di Jordan è: $J=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$

Il problema adesso è trovare la base B, i cui vettori, scritti in una matrice B come colonne, mi diano $B^(-1)AB=J$

Per quanto riguarda l'autovalore 1, prendo due vettori appartenenti a $Ker(A-I)$, nel mio caso $b_1=((1),(0),(0),(0))$ $b_2=((0),(1),(0),(0))$

Ma i due vettori che trovi non sono autovettori per $A$ .

Tu, molto probabilmente, hai confuso $A$ con $J$ ...

[enpires1]

Cavolo vero! $b_1$ non lo è, ho fatto un errore di calcolo, è $b_1=((0),(0),(0),(1))$ autovettore per A con autovalore 1.
Chiedo scusa...
Ho rettificato la matrice di cambiamento di base, e mi risulta quindi essere
$B=((0,0,1,0),(1,0,2,0),(0,0,-1,1),(0,1,2,1))$
Ma di nuovo non mi trovo...
La matrice risultante da $B^(-1)AB$ è
$((1,0,4,0),(0,1,4,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1))$

Che sarebbe carina non fosse per quei due 4

[franced]

Come terzo vettore devi scegliere un autovettore relativo a $lambda=-1$ .

Per l'ultimo vettore $v$ della base di Jordan puoi anche seguire questa strada:

$Av = lambda v + w$

dove $w$ è l'autovettore scelto per $lambda=-1$.

[franced]

Prova a vedere qui:

https://www.matematicamente.it/forum/aiu ... tml#204448

c'è un mio intervento (molto lungo) dove risolvo il problema per una matrice 4x4 ..

[enpires1]

Ho seguito proprio quella guida
tu, infatti, fai così
scelgo il vettore $v_1=((0),(0),(0),(1))$.

Ora applico la matrice $N$ al vettore $v_1$:

Così hai trovato il vettore successivo, io ho applicato lo stesso metodo, ho preso un vettore $b_3=((0),(0),(1),(1))$ e ho fatto (essendo l'autovalore a cui mi riferisco -1) $(A+I)\cdot b_3$ ed ho ottenuto l'altro vettore $b_4=((1),(2),(-1),(2))$
La base quindi è diventata la $B=(b_1 b_2 b_4 b_3)$ che ho già scritto...
Perchè quindi non funziona?

[franced]

Allora, facciamo ordine:

$N = A+I = ((1, 0, 1, 0), (2, 2, 2, 0), (-1, 0, -1, 0), (0, 0, 0, 2))$

$N^2 = ((0, 0, 0, 0), (4, 4, 4, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 4))$

calcoliamo ora i nuclei:

$ker(N) = $ Span ${((1),(0),(-1),(0))}$

$ker(N^2) = $ Span ${((1),(0),(-1),(0)) , ((1),(-1),(0),(0))}$

prendiamo ora un vettore che sta in $ker(N^2)$ ma che non sta in $ker(N)$, ad esempio

$((1),(-1),(0),(0))$

applico $N$ a tale vettore ottenendo in questo modo:

$N ((1),(-1),(0),(0)) = ((1),(0),(-1),(0))$ .

Una base di Jordan è dunque la seguente:

$\beta = {((0),(1),(0),(0)) , ((0),(0),(0),(1)) , ((1),(0),(-1),(0)) , ((1),(-1),(0),(0))}$

mi raccomando di fare bene attenzione all'ordine dei vettori!!

Puoi verificare che risulta:

$((0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, -1), (0, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 0))^(-1) ((0, 0, 1, 0), (2, 1, 2, 0), (-1, 0, -2, 0), (0, 0, 0, 1)) ((0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, -1), (0, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 0)) = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, -1, 1), (0, 0, 0, -1))$

[enpires1]

Ahhhhh adesso ci sono Grazie mille!!!
Io avevo capito che potevo prendere un qualsiasi vettore e poi moltiplicarlo per N, invece questo era vero solo se $Ker(N^2)=RR^4$...
Non avevo riflettuto su questo punto, grazie mille adesso provo con un altra matrice e se ho problemi faccio sapere
Grazie ancora!

[enpires1]

Allora... io credo di avere qualche problemino serio...
La mia matrice stavolta è questa
$A=((1,0,1,0),(2,2,1,0),(-1,0,-1,0),(0,0,3,2))$
Il polinomio caratteristico è $(x-2)^2x^2$ e, viste le molteplicità, la forma di Jordan è
$J=((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$

Adesso veniamo a vedere questa benedetta base
Per l'autovalore 2 è facile, prendo 2 vettori del ker di $(A-2I)$ (essendo molteplicità geometrica = 2), nel mio caso ho preso $b_1=((0),(1),(0),(0))$ e $b_2=((0),(0),(0),(1))$
Il problema come al solito viene con l'autovalore di molteplicità geometrica = 1, ovvero l'autovalore 0

Se ho capito bene come mi hai detto di fare devo procedere così:
noto innanzitutto che $(A-=I)=A$, quindi vado alla valutazione dei nuclei
$ker(A)={((2/3),(-1/3),(-2/3),(1))}$
$ker(A^2)={((1),(-2),(1),(0)),((4/3),(-5/3),(0),(1))}$

Allora prendo un vettore $b_3 in ker(A^2)$, nel mio caso ho scelto $b_3=((1),(-2),(1),(0))$
Vado a trovare l'altro vettore facendo
$b_4=((1,0,1,0),(2,2,1,0),(-1,0,-1,0),(0,0,3,2))((1),(-2),(1),(0))=((2),(-1),(-2),(3))$

Ma ecco il problemino: $b_4$ non è linearmente indipendente rispetto agli altri tre vettori $b_3$ $b_2$ e $b_1$, quindi non posso formare una base con questi vettori...
Come si spiega la situation??

[Zkeggia]

sei sicuro di aver fatto bene i calcoli? perché a me il nucleo di $A^2$ torna diverso.

$A^2 = ((0,0,0,0),(5,4,3,0),(-2,0,0,0),(-3,0,3,4))$

e il nucleo mi torna, parametricamente parlando, lo span dei vettori $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tali che:
$x_1 = 0$
$x_2 = -3/4 x_3$
$x_4 = -3/4 x_3$

Ma ci sta abbia sbagliato io, vista l'ora!

[franced]

"Zkeggia":sei sicuro di aver fatto bene i calcoli? perché a me il nucleo di $A^2$ torna diverso.

$A^2 = ((0,0,0,0),(5,4,3,0),(-2,0,0,0),(-3,0,3,4))$

A me invece torna così:

$A^2 = ((0, 0, 0, 0), (5, 4, 3, 0), (0, 0, 0, 0), (-3, 0, 3, 4))$

e il nucleo è

Span ${((1), (-2), (1), (0)) , ((0), (3), (-4), (3))}$ .

Per quanto riguarda il nucleo di $A$ si vede che è

Span ${((-2, 1, 2, -3))}$ .

Allora per trovare due vettori della base di jordan relativi a $lambda = 0$
basta, prima di tutto, trovare un vettore che sta in $ker(A^2) - ker(A)$:
è facile vedere che può andar bene il vettore

$((1), (-2), (1), (0))$ ;

a questo punto applichiamo $A$ a tale vettore, ottenendo:

$A ((1), (-2), (1), (0)) = ((2), (-1), (-2), (3))$

Una base di Jordan è allora la seguente:

${((0),(1),(0),(0)) , ((0),(0),(0),(1)) , ((2), (-1), (-2), (3)) , ((1), (-2), (1), (0))}$ .

Controlliamo:

$((0, 0, 2, 1), (1, 0, -1, -2), (0, 0, -2, 1), (0, 1, 3, 0))^(-1) ((1, 0, 1, 0), (2, 2, 1, 0), (-1, 0, -1, 0), (0, 0, 3, 2)) ((0, 0, 2, 1), (1, 0, -1, -2), (0, 0, -2, 1), (0, 1, 3, 0)) = ((2, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0))$ .

Torna tutto!

[Marco512]

[quote=enpires]Ciao a tutti mi serve un aiuto per calcolare una base B che porta una matrice A data nella sua forma di Jordan.
Ho la matrice:
$A=((0,0,1,0),(2,1,2,0),(-1,0,-2,0),(0,0,0,1))

Il suo polinomio caratteristico è : $(x-1)^2(x+1)^2$
Quindi i suoi autovalori sono: $x=1$ (m.a. = 2; m.g. =2) e $x=-1$ (m.a. =2; m.g. =1)

[\quote]

Una precisazione: il polinomio caratteristico è un'equazione, non un polinomio solo soletto, in generale è $det(A- \lambda I)=0$
dunque si scrive

$(1- \lambda)^2(1+ \lambda)^2=0$, e gli autovalori sono, come dici tu, 1 e -1 con le rispettive molteplicità..

[enpires1]

Sinceramente $A^2$ l'ho fatta al computer com Maxima e mi dava come risultato questa matrice
$A^2=((0,0,0,0),(5,4,3,0),(0,0,0,0),(-3,0,3,4))$
E di questa ho risolto il sistema corrispondente...

Facendo $A^2$ a mano mi trovo con lo stesso risultato...

Per franced:
Per la miseria ho fatto un errore, avevo contato il vettore (1,-2,-1,0) invece che (1,-2,1,0), e quindi mi saltava fuori che i vettori sono linearmente dipendenti

per zkeggia
Guarda, tutto sto thread si basa sui miei errori, quindi non sei il solo, rassicurati

[Zkeggia]

sì ho sbagliato io un conto, scusate se vi ho fatto perder tempo. Vado a piangere in un angolino XD.

[enpires1]

Ennesima matricetta stavolta l'esercizio mi riesce ma devo chiedere comunque un parare
La matrice stavolta è $A=((1,2,0,-1),(0,1,-1,0),(0,1,-1,0),(1,4,-2,-1))$
Il polinomio caratteristico è $x^4=0$ (grazie a marco per la precisazione ) e la molteplicità geometrica di 0 è 2, inoltre l'indice di nilpotenza è anchesso 2, quindi la forma di Jordan è
$J=((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$
Adesso io la base l'ho trovata così
noto che
$0 larr e_1+e_4 larr e_1$
ed anche
$0 larr e_2+e_3+2e_4 larr -e_3$
Quindi la mia base è
${((1),(0),(0),(1)),((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(1),(-2)),((0),(0),(-1),(0))}$

E' il tutto fortunatamente funziona

Il mio dubbio è questo: qualora non avessi potuto usare questo metodo "speed", e avessi dovuto fare i soliti calcoli, come avrei dovuto fare?
prendere due vettori $b_1,b_2 in Ker(A^2) \setminus ker(A)$ e moltiplicarli entrambi per A così da ottenere quattro vettori?

[franced]

"enpires":

Il mio dubbio è questo: qualora non avessi potuto usare questo metodo "speed", e avessi dovuto fare i soliti calcoli, come avrei dovuto fare?
prendere due vettori $b_1,b_2 in Ker(A^2) \setminus ker(A)$ e moltiplicarli entrambi per A così da ottenere quattro vettori?

Esatto.

[franced]

Scusa enpires, vedo che studi a ingegneria a pisa. Ma che corso segui?