Aiuto algebra lineare!
Buonasera, questa è la prima volta che posto quindi chiedo scusa in anticipo se dovessi violare qualche norma del forum. Mi servirebbe un aiuto per questo esercizio di algebra lineare. Il testo è il seguente:
si consideri in R^4 il sottoinsieme costituito da quattro vettori C= {(1,1,1,0}, (-3,5,2,11), (7, -1, 2, 3), (0,0,0,1)}.
1) si trovi un sottoinsieme massimale D di vettori linearmente indipendenti.
2) Si trovi un secondo sottoinsieme massimale ε≠d di vettori linearmente indipendenti in C.
3) Si provi che span(C)= span(D)=span(ε).
4) Si trovi una base β di R^4 che contenga D.
5) Si trovi un'equazione che determini in R^4 il sottospazio vettoriale span(C).
La teoria di questi argomenti la so abbastanza bene, ma mi risulta difficile applicarla agli esercizi.
Grazie e buona serata
si consideri in R^4 il sottoinsieme costituito da quattro vettori C= {(1,1,1,0}, (-3,5,2,11), (7, -1, 2, 3), (0,0,0,1)}.
1) si trovi un sottoinsieme massimale D di vettori linearmente indipendenti.
2) Si trovi un secondo sottoinsieme massimale ε≠d di vettori linearmente indipendenti in C.
3) Si provi che span(C)= span(D)=span(ε).
4) Si trovi una base β di R^4 che contenga D.
5) Si trovi un'equazione che determini in R^4 il sottospazio vettoriale span(C).
La teoria di questi argomenti la so abbastanza bene, ma mi risulta difficile applicarla agli esercizi.
Grazie e buona serata
Risposte
Ci sono tanti modi di attaccare il problema, tutti suggeriti dalla teoria.
Cosa ti viene in mente?
Butta giù qualche idea, poi cerchiamo di svilupparla.
Cosa ti viene in mente?
Butta giù qualche idea, poi cerchiamo di svilupparla.
Io, per costituire il sottoinsieme massimale, prenderei i due vettori (1,1,1,0) e (0,0,0,1). Applicando la definizione di indipendenza lineare, risulta che i due vettori sono linearmente indipendenti. Dunque D={(1,1,1,0), (0,0,0,1)}. E' giusto il mio ragionamento?
E perché prenderesti solo quei due?
Sei proprio sicuro che entrambi gli altri vettori dipendano da quelli che hai scelto? Perché?
Ti ricordo che un sottoinsieme $E$ di vettori $subseteq C$ linearmente indipendenti è detto massimale (in $C$) se $E$ non può essere "ingrandito" aggiungendovi un elemento di $C$ che sia linearmente indipendente dai vettori già contenuti in $E$.
Sei proprio sicuro che entrambi gli altri vettori dipendano da quelli che hai scelto? Perché?
Ti ricordo che un sottoinsieme $E$ di vettori $subseteq C$ linearmente indipendenti è detto massimale (in $C$) se $E$ non può essere "ingrandito" aggiungendovi un elemento di $C$ che sia linearmente indipendente dai vettori già contenuti in $E$.
La definizione di sottoinsieme massimale che da il mio libro di testo è la seguente: "S[size=150]ia {v1,..., vn} un insieme di elementi di uno spazio vettoriale V e sia r un intero positivo ≤ n. Diremo che {v1,..., vr} è un insieme massimale di elementi linearmente indipendenti, se i vettori v1, ..., vr sono linearmente indipendenti e se, per ogni vi tale che i>r, i vettori v1, ..., vr, vi sono linearmente dipendenti[/size]". Da come ho capito ho tradito l'ultima parte della definizione, ma non so come ovviare 
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P.S. scusa per la mia poca bravura nell'ambito, ma ho dovuto saltare per questioni burocratiche le prime lezioni di algebra linerae. Grazie mille per la pazienza e per la cortesia
. P.S. scusa per la mia poca bravura nell'ambito, ma ho dovuto saltare per questioni burocratiche le prime lezioni di algebra linerae. Grazie mille per la pazienza e per la cortesia
Ok.
Praticamente, il testo dice in maniera formale ciò che io ho detto in maniera informale.
Lo riesci a vedere?
Detto ciò, visto che il tuo $C$ contiene $4$ vettori di $RR^4$, non puoi a priori escludere che $C$ sia un insieme massimale di vettori indipendenti perché tutti e quattro i suoi elementi potrebbero essere indipendenti tra loro... Quindi la questione si sposta sul rispondere ad un altro paio di domande.
Come si fa a stabilire se i $4$ vettori di $C $ sono indipendenti o dipendenti?
Ed in generale, come si fa a stabilire se un dato insieme di vettori è o non è indipendente?
Come si fa a stabilire se i $4$ vettori di $C$ ce ne sono alcuni indipendenti tra loro? E come si fa ad individuare quanti/quali sono quelli indipendenti?
Ed in generale, come si fa a stabilire se ci sono vettori linearmente indipendenti in un dato insieme di vettori? E come si fa ad individuare quanti/quali sono quelli indipendenti?
Il testo che dice?
Praticamente, il testo dice in maniera formale ciò che io ho detto in maniera informale.
Lo riesci a vedere?
Detto ciò, visto che il tuo $C$ contiene $4$ vettori di $RR^4$, non puoi a priori escludere che $C$ sia un insieme massimale di vettori indipendenti perché tutti e quattro i suoi elementi potrebbero essere indipendenti tra loro... Quindi la questione si sposta sul rispondere ad un altro paio di domande.
Come si fa a stabilire se i $4$ vettori di $C $ sono indipendenti o dipendenti?
Ed in generale, come si fa a stabilire se un dato insieme di vettori è o non è indipendente?
Come si fa a stabilire se i $4$ vettori di $C$ ce ne sono alcuni indipendenti tra loro? E come si fa ad individuare quanti/quali sono quelli indipendenti?
Ed in generale, come si fa a stabilire se ci sono vettori linearmente indipendenti in un dato insieme di vettori? E come si fa ad individuare quanti/quali sono quelli indipendenti?
Il testo che dice?
Ciao! Scusami per la tarda risposta, comunque, la definizione che il testo di vettori linearmente dipendenti da' è la seguente: "Sia V uno spazio vettoriale e siano v1, . . . vn, ∈ V. Diciamo
che v1 . . . vn sono linearmente dipendenti se esistono scalari λ1, . . . , λn
non tutti nulli tali che λ1v1 + . . . λnvn = 0.
Dunque per poter verificare se dei vettori sono linearemnte dipendenti o indipendenti devo impostare un sistema e vedere le soluzioni, così posso verificare se un insieme di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti. Giusto?
che v1 . . . vn sono linearmente dipendenti se esistono scalari λ1, . . . , λn
non tutti nulli tali che λ1v1 + . . . λnvn = 0.
Dunque per poter verificare se dei vettori sono linearemnte dipendenti o indipendenti devo impostare un sistema e vedere le soluzioni, così posso verificare se un insieme di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti. Giusto?
"alix12":
Dunque per poter verificare se dei vettori sono linearemnte dipendenti o indipendenti devo impostare un sistema e vedere le soluzioni, così posso verificare se un insieme di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti. Giusto?
Beh risolvilo usando strumenti di algebra lineare
Metti i vettori nelle colonne di una matrice e usa Gauss Jordan. Trasforma la matrice in una triangolare superiore e guarda se ci sono pivot uguali a zero (=zeri sulla diagonale). Le colonne con pivot diversi da zero sono i vettori che formano la base, quindi torna alla matrice iniziale e e prendi quelli.
Ciao!
Quindi mettendo a sistema, risulta che tutti i vettori sono linearmente indipendenti. Dunque questo è il sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti o sbaglio?
Quindi mettendo a sistema, risulta che tutti i vettori sono linearmente indipendenti. Dunque questo è il sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti o sbaglio?
"alix12":
Ciao!
Quindi mettendo a sistema, risulta che tutti i vettori sono linearmente indipendenti. Dunque questo è il sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti o sbaglio?
Posta i conti.
Alla fine troverai che vi sono tre vettori indipendenti, quindi uno è combinazione lineare degli altri tre.
Ad esempio:
$ 4*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) -1*( ( -3 ),( 5 ),( 2 ),( 11 ) )+14*( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 7 ),( -1 ),( 2 ),( 3 ) ) $
Puoi scegliere anche un'altra terna fra quelle "possibili" e risponderai anche alla seconda domanda.
Utiizzando il sistema viene:
{a−3b+7c=0;a+5b−c=0;a+2b+2c=0;11b+3c+d=0}.
con le dovute sostituzioni risulta che a=b=c=d=0.
{a−3b+7c=0;a+5b−c=0;a+2b+2c=0;11b+3c+d=0}.
con le dovute sostituzioni risulta che a=b=c=d=0.
Alix, stai facendo l'esame di algebra lineare...usa Gauss-Jordan.
$ ( ( 1 , -3 , 0 , 7 ),( 1 , 5 , 0 , -1 ),( 1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 11 , 1 , 3 ) ) $
Falla diventare una matrice triangolare superiore
$ ( ( 1 , -3 , 0 , 7 ),( 1 , 5 , 0 , -1 ),( 1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 11 , 1 , 3 ) ) $
Falla diventare una matrice triangolare superiore
So che potrei usare la formula di Gauss-Jordan ma mi hanno detto che il professore non ha usato Gauss per risolvere questa tipologia di esercizio. Detto questo, la formula di Gauss la so applicare
"alix12":
So che potrei usare la formula di Gauss-Jordan ma mi hanno detto che il professore non ha usato Gauss per risolvere questa tipologia di esercizio. Detto questo, la formula di Gauss la so applicare
E fallo, devi esercitarti anche parecchiotto perchè è fondamentale.
Ti ho fatto vedere una combinazione lineare quindi il sistema che hai risolto è sbagliato. Ma poco importa, usa Gauss!
"Bokonon":
[quote="alix12"]So che potrei usare la formula di Gauss-Jordan ma mi hanno detto che il professore non ha usato Gauss per risolvere questa tipologia di esercizio. Detto questo, la formula di Gauss la so applicare
E fallo, devi esercitarti anche parecchiotto perchè è fondamentale.
Ti ho fatto vedere una combinazione lineare quindi il sistema che hai risolto è sbagliato. Ma poco importa, usa Gauss![/quote]
Grazie mille per il consiglio! Adesso lo sto risolvendo con Gauss-Jordan.
Ciao ragazzi! Ho ottenuto le soluzioni dei primi due quesiti. Adesso mi trovo alle prese con il terzo quesito. Non so ben definire cosa sia lo span di uno spazio vettoriale, vi sarei molto grato se mi aiutaste a risolvere questa parte di esercizio, magari dandomi qualche dritta necessaria. Grazie!
"alix12":
Ciao ragazzi! Ho ottenuto le soluzioni dei primi due quesiti. Adesso mi trovo alle prese con il terzo quesito. Non so ben definire cosa sia lo span di uno spazio vettoriale, vi sarei molto grato se mi aiutaste a risolvere questa parte di esercizio, magari dandomi qualche dritta necessaria. Grazie!
Posta prima le due basi e spiega cosa sono e cosa generano.
Grazie! Ho risolto anche questi due quesiti. Adesso mi manca l'ultimo esercizio. Non so proprio da dove iniziare
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