Aiuto affinità
siano le rette
$r:2x+y-z=x-y+1=0$
$s:x-y+z=x+2z-2=0$
$t:3x-y+z=y+z-2=0$
determinare l'affinità$f:A^3(RR)->A^3(RR)$ che manda gli assi $x,y,z$ rispettivamente nelle rette $r,s,t$
ho studiato bene la teoria e ho visto tutti i post che ho trovato sul forum riguardo alle affinità,ma non mi hanno aiutato a svolgere questo esercizio,in particolare perchè non saprei come ragionare in $A^3$
l'unica cosa che so è che $f(0,0,0)=(0,1,1)$ come risultato dei punti di incidenza tra le rette in questione,per il resto non so proprio dove sbattere la testa,qualsiasi aiuto va bene perche ci vedo buio proprio...
mi è venuto il mente il fatto che in $A^2$ un affinità puo' essere determinata da 3 punti con le rispettive immagini(indipendenti),trovando i coefficienti della matrice associata a $f$,ho pensato quindi che nello spazio potesse essere determinata da 3 rette indipendenti con le corrispettive immagini,come nell'esercizio! ma non posso ricavarmi i coefficienti della matrice con le rette che io sappia...
$r:2x+y-z=x-y+1=0$
$s:x-y+z=x+2z-2=0$
$t:3x-y+z=y+z-2=0$
determinare l'affinità$f:A^3(RR)->A^3(RR)$ che manda gli assi $x,y,z$ rispettivamente nelle rette $r,s,t$
ho studiato bene la teoria e ho visto tutti i post che ho trovato sul forum riguardo alle affinità,ma non mi hanno aiutato a svolgere questo esercizio,in particolare perchè non saprei come ragionare in $A^3$
l'unica cosa che so è che $f(0,0,0)=(0,1,1)$ come risultato dei punti di incidenza tra le rette in questione,per il resto non so proprio dove sbattere la testa,qualsiasi aiuto va bene perche ci vedo buio proprio...
mi è venuto il mente il fatto che in $A^2$ un affinità puo' essere determinata da 3 punti con le rispettive immagini(indipendenti),trovando i coefficienti della matrice associata a $f$,ho pensato quindi che nello spazio potesse essere determinata da 3 rette indipendenti con le corrispettive immagini,come nell'esercizio! ma non posso ricavarmi i coefficienti della matrice con le rette che io sappia...
Risposte
Devi calcolare l'applicazione lineare associata all'affinità. Devi considerare due quaterne di punti affinemente indipendenti.
La prima quaterna la scrivo io: $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
La seconda la inizio a scrivere: $(0,1,1),(.,.,.),(.,.,.),(.,.,.)$
Poi confrontiamo i risultati e l'equazione dell'affinità che ho trovato.
La prima quaterna la scrivo io: $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
La seconda la inizio a scrivere: $(0,1,1),(.,.,.),(.,.,.),(.,.,.)$
Poi confrontiamo i risultati e l'equazione dell'affinità che ho trovato.
"weblan":
Devi calcolare l'applicazione lineare associata all'affinità.
intendi l'isomorfismo? ovvero $Y=AX$,tale applicazione opera sui vettori e non sui punti o no?
"weblan":
Devi considerare due quaterne di punti affinemente indipendenti.
il fatto è che tali quaterne,mettiamo ${P_1,P_2,P_3,P_4}$ e ${Q_1,Q_2,Q_3,Q_4}$ per determinare $f$ devono essere in modo tale che $f(P_i)=(Q_i)$ per $i=1,2,3,4$ ,che $f(0,0,0)=(0,1,1)$ lo so,ma come posso sapere chi sono $f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)$??
"ballerina85":
il fatto è che tali quaterne,mettiamo ${P_1,P_2,P_3,P_4}$ e ${Q_1,Q_2,Q_3,Q_4}$ per determinare $f$ devono essere in modo tale che $f(P_i)=(Q_i)$ per $i=1,2,3,4$ ,che $f(0,0,0)=(0,1,1)$ lo so,ma come posso sapere chi sono $f(1,0,0),f(0,1,0),f(0,0,1)$??
Non è proprio così che $f(P_i)=Q_i$.
I punti $P_1,P_2,P_3,P_4$ sono affinemente indipendenti se i vettori $P_4-P_1,P_3-P_1,P_2-P_1$ sono vettori linearmente indipendenti.
Ricorda il Teorema fondamentale della geometria affine, ricorda che un'affinita trasforma rette in rette, ....etc.
Osserva che l'asse $x$ deve essere trasformata nella $r$, l'asse $y$ nella retta $s$ e l'asse $z$ nella retta $t$.
Osserva che tra i $4$ punti $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$; il primo appartiene all'asse $x,y,z$, il secondo solo all'asse $x$, il terzo solo all'asse $y$ e il quarto solo all'asse $z$.
Osserva che l'asse $x$ ha la direzione $(1,0,0)$ ovvero $(1,0,0)-(0,0,0)$, l'asse $y$,......
Ora lo stesso discorso lo devi fare per l'altra quaterna di punti $((0,1,1),.......)$
Credo che ti abbia dato delle indicazioni su cui riflettere, poi verifichiamo il risultato con quello da me trovato.
dunque i vettori direzione delle rette $r,s,t$ sono rispettivamente $(-1,-1,-3);(-2,,-1,1);(-2,-3,3)$
e ad $r,s,t$ appartengono rispettivamente i punti$(0,1,1)+(-1,-1,-3)=(-1,0,-2)$;$(0,1,1)+(-2,-1,1)=(-2,0,2)$;$(0,1,1)+(-2,-3,3)=(-2,-2,4)$
i vettori sono linearmente indipendenti,i punti quindi anche.
l'affinità è determinata dai punti ${(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ e dai punti ${(0,1,1),(-1,0,-2),(-2,0,2),(-2,-2,4)}$,svolgendo i calcoli si ha
${ ( x'=-x-2y-2z ),( y'=-x-y-3z+1 ),(z'= -3x+y+3z+1 ):}$
è lo stesso metodo che avresti seguito tu?
e ad $r,s,t$ appartengono rispettivamente i punti$(0,1,1)+(-1,-1,-3)=(-1,0,-2)$;$(0,1,1)+(-2,-1,1)=(-2,0,2)$;$(0,1,1)+(-2,-3,3)=(-2,-2,4)$
i vettori sono linearmente indipendenti,i punti quindi anche.
l'affinità è determinata dai punti ${(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ e dai punti ${(0,1,1),(-1,0,-2),(-2,0,2),(-2,-2,4)}$,svolgendo i calcoli si ha
${ ( x'=-x-2y-2z ),( y'=-x-y-3z+1 ),(z'= -3x+y+3z+1 ):}$
è lo stesso metodo che avresti seguito tu?
Ho costruito l'applicazione lineare associata all'applicazione affine con le seguenti assegnazioni:
$(1,0,0)\rightarrow(1,1,3)$
$(0,1,0)\rightarrow(2,1,-1)$
$(0,0,1)\rightarrow(2,3,-3)$
Da queste assegnazioni viene fuori l'applicazione lineare associata a quella affine:
$\{(x'=x+2y+2z),(y'=x+y+3z),(z'=3x-y-3z):}$
quindi l'applicazione affine:
$\{(x'=x+2y+2z),(y'=x+y+3x+1),(z'=3x-y-3z+1):}$
$(1,0,0)\rightarrow(1,1,3)$
$(0,1,0)\rightarrow(2,1,-1)$
$(0,0,1)\rightarrow(2,3,-3)$
Da queste assegnazioni viene fuori l'applicazione lineare associata a quella affine:
$\{(x'=x+2y+2z),(y'=x+y+3z),(z'=3x-y-3z):}$
quindi l'applicazione affine:
$\{(x'=x+2y+2z),(y'=x+y+3x+1),(z'=3x-y-3z+1):}$
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