Aiutino sui esercizi di algebra lineare
Ciao ragazzi,
tra 6 giorni ho l'esame, ma facendo un pò di esercizi mi trovo ancora ad avere qualche dubbio, quindi ve ne posto qualcuno sperando in una conferma o correzione, e vi ringrazio tantissimo in anticipo.
1) Veri care che V = R2 con le seguenti leggi di composizione non è uno spazio vettoriale su R.
(a) interna: (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y2); esterna: alfa* (x; y) = (alfa* x; alfa* y):
(b) interna: (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); esterna: alfa*(x; y) = (0; alfa* y)
intanto non so cosa sia la composizione esterna/interna, ma intuitivamente mi verrebbe da dire che nella a) la somma non è commutativa e quindi non è uno spazio vettoriale, e nel secondo caso il prodotto 1*(x,y) è diverso da (x,y) e data l'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto in uno spazio vettoriale, questo non lo è.
2)Veri care che
1) C è un C- spazio vettoriale con le leggi usuali: (per ogni) z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2; z1 + z2 = (x1 + x2) +
i(y1 + y2) e per ogni alfa= a + ib € C alfa* z = (ax-by) + i(ay + bx).
2) C è un R-spazio vettoriale con le leggi : z1 + z2 de nita come prima e per ogni alfa € R, alfa* z = alfa*x + alfa*i y.
...qui sinceramente non ho idea di cosa fare=(
3)Sia R2[x] lo spazio dei polinomi a coecienti reali di grado minore o uguale a 2. Sia W = {p € R2[x]
|p(3) = 0} e sia Z = {p € R2[x] =p(2) = 0; p(0) = 0}
(a) Dimostrare che W e Z sono sottospazi vettoriale di R2[x].
(b) Dimostrare che la somma di W con Z e diretta.
Qui sono partito dallo scrivere che il primo polinomio è del tipo y=(x-3)(ax+b) ottenendo che una base dei coefficienti è (1,-3,0) e (0,1,3) ...lo spazio vettoriale W generato ha quindi dimensione 2 e le soluzioni si trovano sul piano di equazione -9x-3y+z=0
Ripetendo un analogo procedimento per il secondo polinomio, passante per 2 punti, ottengo uno spazio vettoriale di una sola dimensione, generato dal vettore (1,-2,0) ...spazio vettoriale Z a 1 dimensione e la retta delle soluzioni è y=-2x.
Poi mi sono scritto il vettore perpendicolare al piano (-9,-3,1) e quello parallelo alla retta (1,-2,0) e mi sono detto che se la retta giace sul piano, e quindi la somma non è diretta, il prodotto scalare deve valere 0:
(-9,-3,1)*(1,-2,0)=-3 in effetti essendo diverso da 0 la retta non giace sul piano, e quindi i tre vettori formano uno spazio vettoriale a 3 dimensioni. Naturalmente potevo semplicemente verificare che il rango della matrice formata dai 3 vettori fosse 3, ma ho voluto mettere in pratica un pò delle cose studiate. Ah già, il punto a che chiede di dimostrare se W e Z sono spazi vettoriali, come si fa esattamente?!?!?
tra 6 giorni ho l'esame, ma facendo un pò di esercizi mi trovo ancora ad avere qualche dubbio, quindi ve ne posto qualcuno sperando in una conferma o correzione, e vi ringrazio tantissimo in anticipo.
1) Veri care che V = R2 con le seguenti leggi di composizione non è uno spazio vettoriale su R.
(a) interna: (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y2); esterna: alfa* (x; y) = (alfa* x; alfa* y):
(b) interna: (x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); esterna: alfa*(x; y) = (0; alfa* y)
intanto non so cosa sia la composizione esterna/interna, ma intuitivamente mi verrebbe da dire che nella a) la somma non è commutativa e quindi non è uno spazio vettoriale, e nel secondo caso il prodotto 1*(x,y) è diverso da (x,y) e data l'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto in uno spazio vettoriale, questo non lo è.
2)Veri care che
1) C è un C- spazio vettoriale con le leggi usuali: (per ogni) z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2; z1 + z2 = (x1 + x2) +
i(y1 + y2) e per ogni alfa= a + ib € C alfa* z = (ax-by) + i(ay + bx).
2) C è un R-spazio vettoriale con le leggi : z1 + z2 de nita come prima e per ogni alfa € R, alfa* z = alfa*x + alfa*i y.
...qui sinceramente non ho idea di cosa fare=(
3)Sia R2[x] lo spazio dei polinomi a coecienti reali di grado minore o uguale a 2. Sia W = {p € R2[x]
|p(3) = 0} e sia Z = {p € R2[x] =p(2) = 0; p(0) = 0}
(a) Dimostrare che W e Z sono sottospazi vettoriale di R2[x].
(b) Dimostrare che la somma di W con Z e diretta.
Qui sono partito dallo scrivere che il primo polinomio è del tipo y=(x-3)(ax+b) ottenendo che una base dei coefficienti è (1,-3,0) e (0,1,3) ...lo spazio vettoriale W generato ha quindi dimensione 2 e le soluzioni si trovano sul piano di equazione -9x-3y+z=0
Ripetendo un analogo procedimento per il secondo polinomio, passante per 2 punti, ottengo uno spazio vettoriale di una sola dimensione, generato dal vettore (1,-2,0) ...spazio vettoriale Z a 1 dimensione e la retta delle soluzioni è y=-2x.
Poi mi sono scritto il vettore perpendicolare al piano (-9,-3,1) e quello parallelo alla retta (1,-2,0) e mi sono detto che se la retta giace sul piano, e quindi la somma non è diretta, il prodotto scalare deve valere 0:
(-9,-3,1)*(1,-2,0)=-3 in effetti essendo diverso da 0 la retta non giace sul piano, e quindi i tre vettori formano uno spazio vettoriale a 3 dimensioni. Naturalmente potevo semplicemente verificare che il rango della matrice formata dai 3 vettori fosse 3, ma ho voluto mettere in pratica un pò delle cose studiate. Ah già, il punto a che chiede di dimostrare se W e Z sono spazi vettoriali, come si fa esattamente?!?!?
Risposte
Oddio, non si capisce nulla. Partirei dal terzo.
Tu hai $R_2[x]$ e $W=p in RR_2[x] | p(3)=0} $ e $Z={p in RR_2[x] | p(2)=0,p(0)=0}$
Dimostriamo che $W$ è un sottospazio vettoriale di $RR_2[x]$.
innanzi tutto $0_(RR_2[x]) in W$ visto che il polinomio nullo ammette infinite radici.
Ora devi verificare che $AA p_1,p_2 in RR_2{x]=> p_1+p_2 in RR_2[x]$ ma ciò è vero
Infatti $(p_1+p_2)(x)=p_1(x)+p_2(x) in W$ infatti, $(p_1+p_2)(3)=p_1(3)+p_2(3)=0+0=0$
ora devi verificare che $AA p in W : \lambdap in W$ con $\lambda in RR$
ma ciò è vero perché $(\lambdap)(x)=\lambdap_(x)$ e $(\lambdap)(3)=\lambdap(3)=\lambda*0=0$
La dimostrazione di $Z$ sottospazio è analoga.
Per dimostrare che $W+Z$ non è diretta, devi provare che $WnnZ!={0_(RR_2[x]}$.
In poche parole, devi trovarti una base di $W$ e $Z$ e una base dell'intersezione e vedere che l'intersezione non è banale.
spero di non aver detto fesserie!
Tu hai $R_2[x]$ e $W=p in RR_2[x] | p(3)=0} $ e $Z={p in RR_2[x] | p(2)=0,p(0)=0}$
Dimostriamo che $W$ è un sottospazio vettoriale di $RR_2[x]$.
innanzi tutto $0_(RR_2[x]) in W$ visto che il polinomio nullo ammette infinite radici.
Ora devi verificare che $AA p_1,p_2 in RR_2{x]=> p_1+p_2 in RR_2[x]$ ma ciò è vero
Infatti $(p_1+p_2)(x)=p_1(x)+p_2(x) in W$ infatti, $(p_1+p_2)(3)=p_1(3)+p_2(3)=0+0=0$
ora devi verificare che $AA p in W : \lambdap in W$ con $\lambda in RR$
ma ciò è vero perché $(\lambdap)(x)=\lambdap_(x)$ e $(\lambdap)(3)=\lambdap(3)=\lambda*0=0$
La dimostrazione di $Z$ sottospazio è analoga.
Per dimostrare che $W+Z$ non è diretta, devi provare che $WnnZ!={0_(RR_2[x]}$.
In poche parole, devi trovarti una base di $W$ e $Z$ e una base dell'intersezione e vedere che l'intersezione non è banale.
spero di non aver detto fesserie!
Il resto del terzo esercizio quindi l'ho fatto bene!!??!? E invece sul secondo chi mi da una mano che non riesco proprio a capire da dove partire
per il secondo,quali sono gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale?
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