Affinità nel piano

[squalllionheart]

salve ho un problema devo risolvere un esercizio devo determinare l'equazione di un affinità che manda i punti A(2,0), B(1,1) e C(-1,6) in B C A.
Oltre alla soluzione con i 6 sistemi avevo pensato alla cambio di riferimenti che usa la mia proff., ma non capisco i passaggi. Voi avete qualche idea in merito?

[dissonance]

Tempo fa ne parlammo qui:
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... 30743.html

Sono proposti alcuni metodi per determinare esplicitamente le equazioni di affinità e cambiamenti di riferimento, forse ti possono servire.

[squalllionheart]

io ho usato esattamente il terzo metodo mi sono trovata l'inversa e l'altra matrice... ma non mi torna. Mi potresti aiutare nel conto spicciolo?

[franced]

"squalllionheart":salve ho un problema devo risolvere un esercizio devo determinare l'equazione di un affinità che manda i punti A(2,0), B(1,1) e C(-1,6) in B C A.
Oltre alla soluzione con i 6 sistemi avevo pensato alla cambio di riferimenti che usa la mia proff., ma non capisco i passaggi. Voi avete qualche idea in merito?

Una curiosità: dal momento che BCA ha lo stesso senso di percorrenza di ABC il det della matrice dell'affinità è positivo.

[franced]

"squalllionheart":salve ho un problema devo risolvere un esercizio devo determinare l'equazione di un affinità che manda i punti A(2,0), B(1,1) e C(-1,6) in B C A.

Con i miei calcoli abbiamo:

$((x'),(y')) = ((13/3,7/3),(-31/3,-16/3))((x),(y)) + ((-23/3),(65/3))$

[franced]

"franced":[quote="squalllionheart"]salve ho un problema devo risolvere un esercizio devo determinare l'equazione di un affinità che manda i punti A(2,0), B(1,1) e C(-1,6) in B C A.

Con i miei calcoli abbiamo:

$((x'),(y')) = ((13/3,7/3),(-31/3,-16/3))((x),(y)) + ((-23/3),(65/3))$[/quote]

Per la cronaca, il det è uguale a $1$, quindi la mia "previsione" è stata giusta.
Inoltre si tratta di un'affinità che conserva le aree.

[franced]

Un'altra osservazione: visto che il triangolo ABC viene trasformato nel triangolo BCA, il baricentro è un punto fisso
per la trasformazione.
Dal momento che gli autovalori della matrice $A$ sono complessi, il baricentro del triangolo ABC è l'unico punto fisso
dell'affinità che stiamo studiando.
Ganzo, vero?

[franced]

Ah, un'altra cosa: visto che gli autovalori della matrice sono complessi, non esistono rette unite.

[dissonance]

Una affinità che conserva le aree è necessariamente una isometria? A bruciapelo direi di si ma ragionandoci meglio in termini di matrici forse la risposta è no, che ne dite?

[franced]

"dissonance":Una affinità che conserva le aree è necessariamente una isometria? A bruciapelo direi di si ma ragionandoci meglio in termini di matrici forse la risposta è no, che ne dite?

No, pensa a questa affinità:

$x'=100 x$
$y' = 1/100 y$

conserva le aree, ma guarda un po' cosa fa alle figure.. le deforma "di brutto"!!