Affinità - geometria 2
Posto due esercizi in cui non so proprio come muovermi.
1) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare le equazioni delle isometrie che portano in sè la retta $r: x-y-1=0$
2) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano di origine O, si indichi con $T$ il triangolo con vertici in $O,A(1,0),B(0,1)$. Scrivere le equazioni di una affinità non isometrica che porta $T$ in sè.
Grazie mille.
1) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare le equazioni delle isometrie che portano in sè la retta $r: x-y-1=0$
2) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano di origine O, si indichi con $T$ il triangolo con vertici in $O,A(1,0),B(0,1)$. Scrivere le equazioni di una affinità non isometrica che porta $T$ in sè.
Grazie mille.
Risposte
"GreenLink":
2) Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano di origine O, si indichi con $T$ il triangolo con vertici in $O,A(1,0),B(0,1)$. Scrivere le equazioni di una isometria non identica che porta $T$ in sè.
Prova a prendere in considerazione la simmetria rispetto a $y=x$.
Scusa franced ho modificato la richiesta.
"GreenLink":
Scusa franced ho modificato la richiesta.
Ah, allora vuoi un'affinità non isometrica?
Si, esatto. Avevo scritto un'altra richiesta dell'esercizio.
Semplice:
prima di tutto ti devi assicurare che i vertici vadano nei vertici (è un'affinità);
poi basta mandare il segmento diagonale in uno dei due cateti, così sei sicuro che
la trasformazione non è isometrica.
Può andare bene questa:
$f: (0 ; 0) \rightarrow (1 ; 0)$
$f: (1 ; 0) \rightarrow (0 ; 0)$
$f: (0 ; 1) \rightarrow (0 ; 1)$
prima di tutto ti devi assicurare che i vertici vadano nei vertici (è un'affinità);
poi basta mandare il segmento diagonale in uno dei due cateti, così sei sicuro che
la trasformazione non è isometrica.
Può andare bene questa:
$f: (0 ; 0) \rightarrow (1 ; 0)$
$f: (1 ; 0) \rightarrow (0 ; 0)$
$f: (0 ; 1) \rightarrow (0 ; 1)$
Non capisco come dalla condizione che i vertici vanno nei vertici venga di conseguenza il fatto che il segmento diagonale vada in uno dei due cateti. E poi come ricavo l'equazione matriciale dell'affinità?
Grazie.
Grazie.
"GreenLink":
Non capisco come dalla condizione che i vertici vanno nei vertici venga di conseguenza il fatto che il segmento diagonale vada in uno dei due cateti. E poi come ricavo l'equazione matriciale dell'affinità?
Grazie.
Non basta che i vertici vadano nei vertici.
Devi far sì che la diagonale vada a finire su uno dei due cateti, così
un segmento di lunghezza $L$ ha per immagine un segmento di
lunghezza $L' < L$.
Ok, ma tu hai dato le immagini dei tre vertici dicendo che l'affinità che agisce così non è un'isometria giusto?
"GreenLink":
Ok, ma tu hai dato le immagini dei tre vertici dicendo che l'affinità che agisce così non è un'isometria giusto?
Certo, la mia affinità non è una isometria.
Se ti calcoli la matrice dell'affinità lo vedi subito!
E' questa la matrice dell'affinità rispetto alla base $B={ (1,0) , ( 0,1)}$?
$M=((1,-1),(0,1))$
$M=((1,-1),(0,1))$
Avete idee per l' 1) ?
Intuitivamente mi viene da dire che sono le traslazioni di vettore di direzione di r e le simmetrie rispetto ad un punto qualsiasi della retta. Come faccio a dimostrare che queste sono la totalità delle isometrie che portano in sè la retta?
Intuitivamente mi viene da dire che sono le traslazioni di vettore di direzione di r e le simmetrie rispetto ad un punto qualsiasi della retta. Come faccio a dimostrare che queste sono la totalità delle isometrie che portano in sè la retta?
Nel piano $E^2$ in cui è fissato un riferimento cartesiano determinare le equazioni delle isometrie che portano in sè la retta $r: x-y-1=0$
Ritengo più opportuno partire dalle simmetrie assiali che rendono unita la retta $r$, quindi
la simmetria assiale $sigma_r$ rispetto alla retta $r$
le simmetrie assiali $sigma_(s_i)$ rispetto ad una qualsiasi retta perpendicolare ad $r$
poi mi occupo delle composizioni di due di esse
$sigma_r ** sigma_(s_i)$ e $sigma_(s_i) **sigma_r$, queste generano tutte le simmetrie centrali con centro in $r$,
$sigma_(s_i) **sigma_(s_k)$ invece generano tutte le traslazioni parallele ad $r$
infine mi occupo della composizione di 3 delle suddette simmetrie che generano
o una glissosimmetria di asse $r$ oppure una simmetria $sigma_(s_i)$ rispetto ad una delle perpendicolari ad $r$
Intuitivamente mi viene da dire che sono le traslazioni di vettore di direzione di r e le simmetrie rispetto ad un punto qualsiasi della retta. Come faccio a dimostrare che queste sono la totalità delle isometrie che portano in sè la retta?
Ritengo più opportuno partire dalle simmetrie assiali che rendono unita la retta $r$, quindi
la simmetria assiale $sigma_r$ rispetto alla retta $r$
le simmetrie assiali $sigma_(s_i)$ rispetto ad una qualsiasi retta perpendicolare ad $r$
poi mi occupo delle composizioni di due di esse
$sigma_r ** sigma_(s_i)$ e $sigma_(s_i) **sigma_r$, queste generano tutte le simmetrie centrali con centro in $r$,
$sigma_(s_i) **sigma_(s_k)$ invece generano tutte le traslazioni parallele ad $r$
infine mi occupo della composizione di 3 delle suddette simmetrie che generano
o una glissosimmetria di asse $r$ oppure una simmetria $sigma_(s_i)$ rispetto ad una delle perpendicolari ad $r$
"GreenLink":
E' questa la matrice dell'affinità rispetto alla base $B={ (1,0) , ( 0,1)}$?
$M=((1,-1),(0,1))$
No, l'equazione dell'affinità viene:
$f((x),(y))=((-1,-1),(0,1)) ((x),(y)) + ((1),(0))$
Il determinante della matrice è negativo, in accordo col fatto
che l'orientamento dei vertici cambia da orario ad antiorario.
che l'orientamento dei vertici cambia da orario ad antiorario.
oddio le glissosimmetrie!! 
no comunque ho capito il ragionamento.
Grazie veramente franced e amelia! Dita incrociate per lo scritto di martedì!!!!
no comunque ho capito il ragionamento.Grazie veramente franced e amelia! Dita incrociate per lo scritto di martedì!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo