Affinità conserva l'allineamento

[y7xj0m]

pensavo che la conservazione dell'allineamento è proprio una bella proprietà delle affinità (se non fondamentale!) mi chiedevo però se esiste un modo rigoroso per dimostrarlo... qualcuno mi può aiutare?

[Maci86]

Invece è proprio quello che da fastidio a Grassman Infatti facendo collassare l'allineamento ad un punto all'infinito puoi divertirti molto di più Come sono fatte le affinità?

[y7xj0m]

wait... allora, le affinità sono funzioni affini biiettive (almeno, così le abbiamo definite)
dove per funzione affine intendo una funzione che a un punto P dello spazio affine (A, V, +) associa
F(P) = F(P + v) - f(v), per ogni P in A, per ogni v in V....
ma da questo che ne ricavo??

[y7xj0m]

ah, dimenticavo... f è la lineare associata!

[Maci86]

Si, ok, ma, in soldoni, quali azioni puoi far compiere attraverso delle affinità?
Meno teoria, più pratica

[y7xj0m]

uhm... proiezioni, simmetrie, omotetie...?

[Maci86]

Ok, e come agiscono su vettori uguali in punti diversi?

[y7xj0m]

ma le affinità agiscono sui punti non sui vettori... intendi la lineare associata?

[Maci86]

Eheheh, vuoi dirmi che un'omotetia non agisce sui vettori Vettori e punti son legati quindi quello che agisce su uno agisce sull'altro. Comunque si, pensa pure che agisca la lineare associata

[y7xj0m]

boh cmq credo che agisca allo stesso modo su vettori uguali, no?

[Maci86]

Esatto quindi vettori paralleli rimangono paralleli

[y7xj0m]

grazie mille! anche se alla fine ci ero arrivata comunque per altre vie