$A$=(colonne pivot $A$)(prime $r$ righe di $R$)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sullo Strang, Algebra lineare, es. 28 dei problemi 2.2 (p. 92 dell'edizione Apogeo del 2008) -so che è un libro piuttosto usato e magari qualche forumista che passa di qua ha già studiato l'argomento-, trovo che una matrice $A\in M_{m,n}$ di rango $r$ (in cui suppongo non debbano essere permutate le righe per ottenere $R$, altrimenti direi che lo stesso vale $PA$ con $P$ matrice di permutazione) si può scrivere come prodotto della matrice delle colonne dei pivot (la chiamo per comodità $B$) per la matrice (diciamo $C$) delle prime $r$ righe della ridotta* $R$, per esempio:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 9 & 7 \\ -1 & -3 & 3 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 9 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=BC\]
ma il testo non dimostra la cosa, che non mi sembrerebbe del tutto banale...
Mentre la cosa è ovvia quando si arriva a moltiplicare $B$ per la colonna di $C$ dove "stava prima della riduzione" l'i-esimo pivot di $A$, che ha tutti zeri tranne un 1 nell'i-esima riga, è tutto il pomeriggio che cerco di dimostrare a me stesso che le altre colonne (che devono essere linearmente dipendenti dalle colonne pivot mi è chiaro) di $A$ sono uguali a $B$ moltiplicata per la corrispondente colonna di $C$, ma ho riempito fogli di inutili calcoli.
Utilizzare il fatto che $A=LDTR$ e $R=T^-1 D^-1 L^-1 A$ con $L$ unitriangolare inferiore, $T$ unitriangolare superiore e $D$ diagonale dei pivot non mi pare che giovi granché...
Su Internet non trovo nulla... Qualcuno sarebbe così pietoso da suggerirmi qualche link con una dimostrazione o ad abbozzarne una qua?
$+oo$ grazie!!!

*Per chiarezza: da $A$ si arriva a $R$ con i seguenti passaggi
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 9 & 7 \\ -1 & -3 & 3 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=U \to\]\[\to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=A_{\text{ref}} \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=R=A_{\text{rref}} \]
dove ho usato il nome dei comandi di Matlab ad indice e $U$ come fa lo Strang.

[DavideGenova1]

Forse ci sono... Permuto le colonne di $A$ con una matrice $P$ (non si tratta qui dell'eventuale $P$ di cui nel post precedente, che potrebbe essere necessaria per spostare in alto righe con i pivot, ma uso il nome $P$ per praticità) in modo da avere le colonne dei pivot tutte raccolte a sinistra nell'ordine in cui compaiono in $A$, cioè \(AP=\begin{pmatrix} M_{pivot} & M_{combinazioni} \end{pmatrix}\) dove chiamo \(M_{pivot}\) la matrice -prima era $B$, ma la rinomino per praticità- costituita dalle colonne pivot nell'ordine in cui appaiono in $A$ e \(M_{combinazioni}\) la matrice delle colonne combinazioni delle colonne dei pivot. Si noti che $P$ è invertibile.
Utilizzando di nuovo matrici a blocchi mi pare chiaro che \(AP=\begin{pmatrix} M_{pivot} & M_{combinazioni} \end{pmatrix}= LDTRP=LDT \begin{pmatrix} I_r & Q_{r×(n-r)} \\ 0_{(m-r)×r} & 0_{(m-r)×(n-r)} \end{pmatrix}\)
dove \(\begin{pmatrix} Q_{r×(n-r)} \\ 0_{(m-r)×(n-r)} \end{pmatrix}\) è ciò che divengono al termine della riduzione le colonne non pivot di $A$. Sviluppando il prodotto delle tre matrici per la matrice a blocchi vediamo che le prime $r$ colonne di $AP$ devono soddisfare l'uguaglianza
\( LDT\begin{pmatrix} I_r \\ 0_{(m-r)×r} \end{pmatrix}=M_{pivot}\) mentre le ultime $n-r$ sono
\( LDT\begin{pmatrix} Q_{r×(n-r)} \\ 0_{(m-r)×(n-r)} \end{pmatrix}=LDT\begin{pmatrix} I_r \\ 0_{(m-r)×r} \end{pmatrix}Q_{r×(n-r)}=M_{pivot}Q_{r×(n-r)}\) e quindi, direi che
\(AP=M_{pivot} \begin{pmatrix} I_{r} & Q_{r×(n-r)} \end{pmatrix}\) dove la matrice a blocchi è per l'appunto $RP$ privata delle $m-r$ righe nulle (cioè, usando il nome della matrice del messaggio precedente, $CP$) e, moltiplicando a destra per $P^{-1}$, si ha la tesi.
Se ho scritto stupidate confido di ricevere meritate bastonate...