A*At
quesito molto carino che mi hanno passato a scuola:
determinare una condizione necessaria e sufficente su una matrice M affinchè esista una matrice $A$ tale che $M=A*At$
con $At$ intendo la matrice trasposta di A.
il quesito è sicuramente risolubile se A è a coeficenti reali o complessi; purtroppo non so garantire che sia umanamente fattibile se A è a coeficenti in un campo K qualsiasi(credo ci voglia una conoscenza della teoria piu matura della mia per esserne sicuri)
divertitevi!
determinare una condizione necessaria e sufficente su una matrice M affinchè esista una matrice $A$ tale che $M=A*At$
con $At$ intendo la matrice trasposta di A.
il quesito è sicuramente risolubile se A è a coeficenti reali o complessi; purtroppo non so garantire che sia umanamente fattibile se A è a coeficenti in un campo K qualsiasi(credo ci voglia una conoscenza della teoria piu matura della mia per esserne sicuri)
divertitevi!
Risposte
[EDIT] Di questo post non si capisce molto. Ho cercato di rimediare con il successivo. [/edit]
Una condizione necessaria si trova subito. Affinché essa sia anche sufficiente è chiaro che ci vuole qualche proprietà buona del campo [tex]\mathbb{K}[/tex]. Infatti la domanda non specifica quale debba essere la dimensione $n$ della matrice $M$, quindi la proprietà deve valere anche per il caso $n=1$. Ma allora ci ritroviamo con una vecchissima questione: ad esempio, nel campo [tex]\mathbb{Q}[/tex] possiamo dare condizioni sufficienti affinché ogni matrice con un solo elemento [tex]M[/tex] si possa scrivere come [tex]AA^T[/tex] per una matrice con un solo elemento [tex]A[/tex]? No: stiamo richiedendo che il numero razionale [tex]M[/tex] sia un quadrato perfetto, una condizione non semplice da riconoscere (che io sappia).
Una condizione necessaria si trova subito. Affinché essa sia anche sufficiente è chiaro che ci vuole qualche proprietà buona del campo [tex]\mathbb{K}[/tex]. Infatti la domanda non specifica quale debba essere la dimensione $n$ della matrice $M$, quindi la proprietà deve valere anche per il caso $n=1$. Ma allora ci ritroviamo con una vecchissima questione: ad esempio, nel campo [tex]\mathbb{Q}[/tex] possiamo dare condizioni sufficienti affinché ogni matrice con un solo elemento [tex]M[/tex] si possa scrivere come [tex]AA^T[/tex] per una matrice con un solo elemento [tex]A[/tex]? No: stiamo richiedendo che il numero razionale [tex]M[/tex] sia un quadrato perfetto, una condizione non semplice da riconoscere (che io sappia).
Ho riletto quello che ho scritto e devo dire che non si capisce granché. Vedo di riformulare.
Voglio dire che la domanda in oggetto è la generalizzazione di quest'altra:
dato un elemento [tex]m[/tex] di un campo [tex]\mathbb{K}[/tex], trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché esista [tex]a \in \mathbb{K}[/tex] tale che [tex]m=a^2[/tex].
E questo, come sappiamo, non è un problema semplice, in generale. Per [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex] si sa risolvere, ma già per [tex]\mathbb{K}=\mathbb{Q}[/tex] diventa molto difficile. E questo già per matrici di dimensione 1, quindi figuriamoci cosa succede in dimensioni superiori.
Voglio dire che la domanda in oggetto è la generalizzazione di quest'altra:
dato un elemento [tex]m[/tex] di un campo [tex]\mathbb{K}[/tex], trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché esista [tex]a \in \mathbb{K}[/tex] tale che [tex]m=a^2[/tex].
E questo, come sappiamo, non è un problema semplice, in generale. Per [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex] si sa risolvere, ma già per [tex]\mathbb{K}=\mathbb{Q}[/tex] diventa molto difficile. E questo già per matrici di dimensione 1, quindi figuriamoci cosa succede in dimensioni superiori.
Su $RR$ credo che una risposta abbastanza soddisfacente potrebbe essere la seguente:
Sia $M$ una matrice quadrata. Allora sono equivalenti:
a) esiste una matrice $A$ tale che $M=A\cdot A^t$;
b) $M$ è simmetrica e ha tutti gli autovalori $>=0$.
Ci ho preso?
Sia $M$ una matrice quadrata. Allora sono equivalenti:
a) esiste una matrice $A$ tale che $M=A\cdot A^t$;
b) $M$ è simmetrica e ha tutti gli autovalori $>=0$.
Ci ho preso?
@cirasa: Secondo me si! Invece pensavo che il problema, nel caso complesso, forse non è proprio così semplice. Per avere un problema analogo bisogna richiedere che $A$ sia uguale ad $bar{A}^T$, la trasposta coniugata, non solo la trasposta. Sennò non saprei che dire.
[semi-OT]
Nel caso complesso, se non erro, la caratterizzazione fatta da cirasa (con [tex]^\dag[/tex] al posto di [tex]^t[/tex]) vale anche nel caso infinito-dimensionale (per operatori in spazi di Hilbert [tex]\mathcal H[/tex]):
per $A \in O(\mathcal H)$ sono equivalenti: [$A$ positivo e autoaggiunto] e [[tex]A = B^\dag B[/tex] con $B \in O(\mathcal H)$ (chiuso e aggiuntabile)]. Per $\implies$ dovrebbe bastare considerare $B := \sqrt A$.
[/semi-OT]
Nel caso complesso, se non erro, la caratterizzazione fatta da cirasa (con [tex]^\dag[/tex] al posto di [tex]^t[/tex]) vale anche nel caso infinito-dimensionale (per operatori in spazi di Hilbert [tex]\mathcal H[/tex]):
per $A \in O(\mathcal H)$ sono equivalenti: [$A$ positivo e autoaggiunto] e [[tex]A = B^\dag B[/tex] con $B \in O(\mathcal H)$ (chiuso e aggiuntabile)]. Per $\implies$ dovrebbe bastare considerare $B := \sqrt A$.
[/semi-OT]
"cirasa":
Su $RR$ credo che una risposta abbastanza soddisfacente potrebbe essere la seguente:
Sia $M$ una matrice quadrata. Allora sono equivalenti:
a) esiste una matrice $A$ tale che $M=A\cdot A^t$;
b) $M$ è simmetrica e ha tutti gli autovalori $>=0$.
Ci ho preso?
preso!
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