$A^2=2I$
secondo voi esiste una matrice $A$ di ordine $2$ a coefficienti razionali tale che $A^2=2I$ dove con $I$ indico la matrice identità?
senza fare i conti si può trovare un modo "furbo" per farlo?
senza fare i conti si può trovare un modo "furbo" per farlo?
Risposte
just one world: Binet...
cioè $det(A^2)=det(A)*det(A)=4$ e quindi?
infatti ho sparato una m******a dovevo riposare 
... prova con:
$((0,1),(2,0))$
ora aspetta il modo furbo.... certo visto che sono tre secondi di calcoli non so quanto vale la pena trovare un modo furbo... ma magari escono fuori considereazioni interessanti...
... prova con:$((0,1),(2,0))$
ora aspetta il modo furbo.... certo visto che sono tre secondi di calcoli non so quanto vale la pena trovare un modo furbo... ma magari escono fuori considereazioni interessanti...
Il determinante di $2I$ non è $2$... ma $2^n$. Provare per credere...
ah si giusto. errore mio. è 8. ah ok tutto chiaro
Si, avevo scritto una vaccata. Avevo cancellato sperando che nessuno avesse letto l'obbrobrio..ebbene non ce l'ho fatta 
"miuemia":
ah si giusto. errore mio. è 8. ah ok tutto chiaro
No, dipende dalla dimensione della matrice presa in considerazione.
si si sono un cretino!! vabbè quindi si deve trovare l'esempio a mano.
ghgh... anche io ci casco sempre! infatti ero convinto all'inizio che il determinante di A^2 fosse due.... dopo mi sono fatto una dormita 
Una matrice in $GL(n,QQ)$ ha determinante in $QQ$... Quindi la quasi vaccata di Gaal era tutto sommato corretta... 
quasi, cioé dipende da $n$...
Se $n$ è pari allora $\sqrt{2^n} = \sqrt{2^{2k}} = \pm2^k \in QQ$ quindi è possibile che questa matrice esista. Altrimenti $det(A) = \pm2^k\sqrt{2} \notin QQ$ e quindi non esiste questa matrice...
Ora dobbiamo trovare questa matrice, se esiste.
EDIT: Eliminato errore... Avevo dimenticato di considerare il caso con radice negativa nel determinante...
quasi, cioé dipende da $n$...Se $n$ è pari allora $\sqrt{2^n} = \sqrt{2^{2k}} = \pm2^k \in QQ$ quindi è possibile che questa matrice esista. Altrimenti $det(A) = \pm2^k\sqrt{2} \notin QQ$ e quindi non esiste questa matrice...
Ora dobbiamo trovare questa matrice, se esiste.
EDIT: Eliminato errore... Avevo dimenticato di considerare il caso con radice negativa nel determinante...
ma la matrice che ho scritto nei post sopra prima non va bene? ditemelo se è sbagliata ... in fondo per smontarmela ti basta un calcolo per farmi vedere che non funzia vict
... in fondo per smontarmela ti basta un calcolo per farmi vedere che non funzia vict
ah cmq se esite N di ordine 2 t.c.A^2=2 (ammesso e non concesso) allora esiste N di qualsasi ordine pari: basta fare la somma diretta di questa matricetta N/2 volte!
"Thomas":
infatti ho sparato una m******a dovevo riposare
$((0,1),(2,0))$
ora aspetta il modo furbo.... certo visto che sono tre secondi di calcoli non so quanto vale la pena trovare un modo furbo... ma magari escono fuori considereazioni interessanti...
$((0,1),(2,0))((0,1),(2,0)) = ((2,0),(0,2))$
ok, l'ho sempre pensato di essere una **** con i sistemi non lineari... Effettivamente non ho tenuto conto del caso $a=d=0$ e determinante negativo, quindi le soluzioni sono tutte i sistemi con $bc = 2$.Metto a posto il sistema e cerco di trovare l'errore...
@vict85 la matrice che hai trovato credo vada bene no?
"miuemia":
@vict85 la matrice che hai trovato credo vada bene no?
L'ha trovata Thomas... Comunque si...
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