A x (b x c)

[Ale1521]

Salve, sto cercando di dimostrare un'identità vettoriale tramite la notazione deli indici di einstein.
$a \times (b \times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)$
So che il prodotto vettoriale si può scrivere come:
$a\times b=\varepsilon_(ijk)a_jb_k$
Quindi scrivo:
$\varepsilon_(ijk)a_j(\varepsilon_(klm)b_lc_m)$
Non so se sia corretto, ma comunque non so come procedere... Ci sono troppi indici!
Come posso fare?

[kamal1]

ecco una dimostrazione tradizionale del doppio podotto vettoriale.
se b=0 la relazione è evidente.
. se $b!=0$ supponiamo che esista un $\lambda$ tale che $b=\lambdac$
allora $atimes(btimesc)=0$ perchè $btimesc$=$\lambda(ctimesc)$=0 (vettore nullo)
. supponiamo adesso che $b$ e $c$ siano linearmente indipendenti
sia $i=b/||b||$ e scegliamo un vettore $j$ da vect$(b,c)$ tale che la base $(i,j)$ sia ortonormale scegliamo poi $k$ tale che $(i,j,k)$ sia una base ortonormale diretta.
quindi avremo $b=\alphaveci$ e $c=\betaveci+\deltavecj$ e $a=\omegaveci+\rhovecj+\sigmaveck$
quindi $btimesc$=$\alphavecitimes(\betaveci+\deltavecj)$=$\alpha\deltaveck$ quindi $atimes(btimesc)$=$\alpha\delta\rhoveci-\alpha\delta\omegavecj$
$b.(a.c)=\alpha(\beta\omega+\delta\rho)veci$ anche $c.(a.b)=\alpha\omega\betaveci+\alpha\omega\deltavecj$
quindi $b.(a.c)-c.(a.b)=\alpha\delta\rhoveci-\alpha\omega\deltavecj$=$atimes(btimesc)$

[rbtqwt]

Prova a utilizzare la relazione [tex]\displaystyle {\sum_{{{i}={1}}}^{{3}}}\varepsilon_{{{i}{j}{k}}}\varepsilon_{{{i}{m}{n}}}=\delta_{{{j}{m}}}\delta_{{{k}{n}}}-\delta_{{{j}{n}}}\delta_{{{k}{m}}}[/tex].
Usando questa hai [tex]\displaystyle {\mathbf{{a}}}\times{\left({\mathbf{{b}}}\times{\mathbf{{c}}}\right)}=\sum_{{{i}{j}{k}{l}{m}}}\varepsilon_{{{i}{j}{k}}}\varepsilon_{{{l}{m}{j}}}{{a}}^{{i}}{{b}}^{{l}}{{c}}^{{m}}{\mathbf{{e}}}_{{k}}=\sum_{{{i}{j}{k}{l}{m}}}\varepsilon_{{{j}{k}{i}}}\varepsilon_{{{j}{l}{m}}}{{a}}^{{i}}{{b}}^{{l}}{{c}}^{{m}}{\mathbf{{e}}}_{{k}}= ...[/tex]