A partire da un dominio piano e la rappresentazione parametrica di una superficie piana, determinare il dominio immagine
Non conosco bene l'argomento, quindi perdonate le inesattezze.
La mia domanda è la seguente: A partire da un dominio piano e una funzione da $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$, è possibile determinare il dominio immagine?
Ad esempio, il dominio $[0, 2\pi] \times [0, 1]$ è mappato in un cerchio di raggio $1$ e centro $(0,0)$ attraverso la funzione $\mathbf{f}(x,y)= [\rho \cos \theta; \rho \sin \theta]$.
Qual è il modo generale di fare una cosa del genere?
La mia domanda è la seguente: A partire da un dominio piano e una funzione da $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$, è possibile determinare il dominio immagine?
Ad esempio, il dominio $[0, 2\pi] \times [0, 1]$ è mappato in un cerchio di raggio $1$ e centro $(0,0)$ attraverso la funzione $\mathbf{f}(x,y)= [\rho \cos \theta; \rho \sin \theta]$.
Qual è il modo generale di fare una cosa del genere?
Risposte
La funzione potrebbe essere una cosa assolutamente orribile, no?
Tipo $f(x,y)=(e^{x^2/(y^2+1)},-\pi * x + e*y)$ se $x$ e $y$ hanno esattamente 100 cifre "7" nelle loro rappresentazioni decimali altrimenti (altra cosa stramba con condizioni strane) altrimenti ecc. ecc. ecc. altrimenti $(-1,e^2)$.
Tipo $f(x,y)=(e^{x^2/(y^2+1)},-\pi * x + e*y)$ se $x$ e $y$ hanno esattamente 100 cifre "7" nelle loro rappresentazioni decimali altrimenti (altra cosa stramba con condizioni strane) altrimenti ecc. ecc. ecc. altrimenti $(-1,e^2)$.
Perdonami ma non ho capito la risposta.
Cosa c'è da non capire?
Va be', la risposta alla tua domanda "La funzione potrebbe essere una cosa assolutamente orribile, no?" è sì, potrebbe essere una funzione qualsiasi. Possiamo però aggiungere tranquillamente l'ipotesi di continuità e derivabilità, giusto per cominciare con qualcosa di più semplice (credo).
Non è facile neanche per funzioni da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) regolari quanto vuoi, figuriamoci per generiche funzioni di più variabili.
Considera \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x):=36x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14\). Addirittura \(f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})\) e quindi, per determinare la sua immagine, essendo \(f\) così regolare devi calcolarne il minimo assoluto \(m\) (che esiste, in quanto \(f\) è continua su \(\mathbb{R}\) e tendente a \(+\infty\) sia per \(x \to +\infty\) che per \(x \to -\infty\)) per poi usare il teorema dei valori intermedi in modo da dedurre che \(f(\mathbb{R})=[m,+\infty)\). Buona fortuna nel determinare \(m\) esplicitamente.
Ed \(f\) è un polinomio, che è tra le funzioni più semplici.
Considera \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x):=36x^6-15x^4+12x^3+25x^2-32x+14\). Addirittura \(f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})\) e quindi, per determinare la sua immagine, essendo \(f\) così regolare devi calcolarne il minimo assoluto \(m\) (che esiste, in quanto \(f\) è continua su \(\mathbb{R}\) e tendente a \(+\infty\) sia per \(x \to +\infty\) che per \(x \to -\infty\)) per poi usare il teorema dei valori intermedi in modo da dedurre che \(f(\mathbb{R})=[m,+\infty)\). Buona fortuna nel determinare \(m\) esplicitamente.
Ed \(f\) è un polinomio, che è tra le funzioni più semplici.
Grazie per la risposta esplicativa, @Mephlip.
Se la funzione vettoriale $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$ è esprimibile come funzione complessa, però, mi pare che esista della teoria in merito.
La mia domanda, comunque, nasce dalla mappa conforme usata nella carta di Smith (si usa in ingegneria delle microonde) https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_chart dove le rette $\Re z= const$ e $\Im z = const$ sono trasformate in circonferenze e archi di circonferenza nel dominio immagine (indicato come piano $\Gamma$).
La cosa mi ha affascinato alquato ed ero curioso di sapere se esistesse una teoria generale. Da qui la mia domanda formulata nel modo più generale possibile, forse troppo generale.
In base all'esempio da cui trae spunto la mia curiosità, sapresti dirmi se esiste qualche sviluppo teorico in merito, anche se non generale come immaginavo all'inizio?
Se la funzione vettoriale $\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$ è esprimibile come funzione complessa, però, mi pare che esista della teoria in merito.
La mia domanda, comunque, nasce dalla mappa conforme usata nella carta di Smith (si usa in ingegneria delle microonde) https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_chart dove le rette $\Re z= const$ e $\Im z = const$ sono trasformate in circonferenze e archi di circonferenza nel dominio immagine (indicato come piano $\Gamma$).
La cosa mi ha affascinato alquato ed ero curioso di sapere se esistesse una teoria generale. Da qui la mia domanda formulata nel modo più generale possibile, forse troppo generale.
In base all'esempio da cui trae spunto la mia curiosità, sapresti dirmi se esiste qualche sviluppo teorico in merito, anche se non generale come immaginavo all'inizio?
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