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Risposte
quella che hai scritto tu è l'equazione della $T$ se fosse associata rispetto alla sola base canonica, qui non è così perchè abbiamo anche la base $B$
ti consiglio, anche se è un pò lungo, ma a mio giudizio permette di capire bene come stanno le cose, di applicare esattamente la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare e ciò ricavarsi esplicitamente l'applicazione lineare. Ovvero:
$f(1,0,0,0)=-2(-2,1,0)+2(-1,0,1)=(-6,-2,2)$ e così per i rimanenti vettori di base di $RR^4$
e poi determini $f(x,y,z,t)$
ti consiglio, anche se è un pò lungo, ma a mio giudizio permette di capire bene come stanno le cose, di applicare esattamente la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare e ciò ricavarsi esplicitamente l'applicazione lineare. Ovvero:
$f(1,0,0,0)=-2(-2,1,0)+2(-1,0,1)=(-6,-2,2)$ e così per i rimanenti vettori di base di $RR^4$
e poi determini $f(x,y,z,t)$
Ma scusa mi da già la matrice associata,non mi chiede le equazioni della trasformazione lineare che ha come matrice associata la matrice associata relativa la base canonica di $RR^4$ e $B$?cioè in poche parole quella che mi fornisce già nel testo...
Esatto, ma tu hai scritto l'espressione della $T$ come se fosse associata alla sola base canonica.
Prova a fare così: considera $T(1,0,0,0)=(-2,0,2)$ se non ho sbagliato i calcoli. Ora calcola le componenti rispetto a $B$ e confrontale con la prima colonna della tua matrice, se sono uguali hai fatto bene, altrimenti c'è qualche errore, che è quello che ti ho evidenziato io.
Prova a fare così: considera $T(1,0,0,0)=(-2,0,2)$ se non ho sbagliato i calcoli. Ora calcola le componenti rispetto a $B$ e confrontale con la prima colonna della tua matrice, se sono uguali hai fatto bene, altrimenti c'è qualche errore, che è quello che ti ho evidenziato io.
Guarda ho un pò un casino in testa adesso...
allora io so che se ricavo $T(1,0,0,0)$ se poi esprimo il trasformato in funzione di $B$ e così' via per ogni vettore della base naturale se poi metto le componenti in colonna ottengo la matrice associata.
E dovrebbe essere la matrice che mi da il testo giusto?
Allora in poche parole mi sta chiedendo di determinare la trasformazione lineare no?
allora io so che se ricavo $T(1,0,0,0)$ se poi esprimo il trasformato in funzione di $B$ e così' via per ogni vettore della base naturale se poi metto le componenti in colonna ottengo la matrice associata.
E dovrebbe essere la matrice che mi da il testo giusto?
Allora in poche parole mi sta chiedendo di determinare la trasformazione lineare no?
Se mi riesci a scrivere le equazioni forse ci arrivo perchè mi sto un pò incasinando..
sì, si tratta di determinare l'equazione della nostra trasformazione lineare $T$
Ciò che tu dici è giusto, ma vale se base di partenza e base di arrivo sono la base canonica. Noi qui abbiamo due basi, quella di $RR^4$ che è la base canonica e quella di $RR^3$ che è la nostra base $B$
Adesso noi sappiamo che la matrice rappresenta le componenti dell'immagine di ogni vettore della base di $RR^4$ rispetto alla nostra base $B$
si ha pertanto ciò che ti ho detto nel mio primo post:
$T(1,0,0,0)=(-6,-2,2)$
$T(0,1,0,0)=(3,0,0)$
$T(0,0,1,0)=(-5,2,-2)$
$T(0,0,0,1)=(2,1,-1)$
ora non devi far altro che determinare questa applicazione lineare. Lo sai fare?
ti metto in Spoiler la soluzione
Ciò che tu dici è giusto, ma vale se base di partenza e base di arrivo sono la base canonica. Noi qui abbiamo due basi, quella di $RR^4$ che è la base canonica e quella di $RR^3$ che è la nostra base $B$
Adesso noi sappiamo che la matrice rappresenta le componenti dell'immagine di ogni vettore della base di $RR^4$ rispetto alla nostra base $B$
si ha pertanto ciò che ti ho detto nel mio primo post:
$T(1,0,0,0)=(-6,-2,2)$
$T(0,1,0,0)=(3,0,0)$
$T(0,0,1,0)=(-5,2,-2)$
$T(0,0,0,1)=(2,1,-1)$
ora non devi far altro che determinare questa applicazione lineare. Lo sai fare?
ti metto in Spoiler la soluzione
Grazie mistake capito...se poi mi chiede di calcolare $Ker(T) e Dim(T)$ io li ricavo dalla matrice associata...per curiosità van bene tutte le matrici associate alla T no?non è che ne devo prendere una in particolare vero?
Beh il $ker$ lo puoi ricavare semplicemente impostando l'equazione $f(v)=0$.
Comunque sì, puoi scegliere una matrice associata di $T$ rispetto a qualunque base essendo il rango, e quindi la dimensione dell'immagine (non la dimensione di $T$), indipendente dalla scelta di esse.
Comunque sì, puoi scegliere una matrice associata di $T$ rispetto a qualunque base essendo il rango, e quindi la dimensione dell'immagine (non la dimensione di $T$), indipendente dalla scelta di esse.
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