8 proprietà sotto spazi vettoriali
Per far si che un insieme sia un sotto spazio vettoriale deve :
- essere kiuso rispetto somma e prodotto ed avere l 'elemento neutro.
Perche ,sapendo questo, so anche che nel sottospazio sono verificate le 8 proprietà intrinseche di uno spazio vettoriale? Perche si rende neccessaria la rikiesta che l`elemento neutro appartenga all`insieme?( e già compresa nella chiusura del prodotto)
- essere kiuso rispetto somma e prodotto ed avere l 'elemento neutro.
Perche ,sapendo questo, so anche che nel sottospazio sono verificate le 8 proprietà intrinseche di uno spazio vettoriale? Perche si rende neccessaria la rikiesta che l`elemento neutro appartenga all`insieme?( e già compresa nella chiusura del prodotto)
Risposte
Salve megaempire,
vedo molta confusione... comunque non è questione di sapere o meno ma di definizioni e proprietà; facciamo un pò di ordine:
Def.: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset \), dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se \( G \) è uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset \) , dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se e soltanto se :
\( 1) \mathrm{v} + \mathrm{w} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{v},\mathrm{w} \in G \)
\( 2) \alpha \cdot \mathrm{x} \in G \) presi un qualunque \( \alpha \in K, \mathrm{x} \in G \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \(+\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset\), dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se e soltanto se \( \alpha \cdot \mathrm{x} + \beta \cdot \mathrm{y} \in G \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x,y} \in G \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \(+\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset\), allora:
\( 1) G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \).
\(2) \mathrm{v} + \mathrm{w} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{v},\mathrm{w} \in G \) e \( \alpha \cdot \mathrm{x} \in G \) presi un qualunque \( \alpha \in K, \mathrm{x} \in G \)
\( 3) \alpha \cdot \mathrm{x} + \beta \cdot \mathrm{y} \in G \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x,y} \in G \)
sono equivalenti.
Spero che ora ti è chiaro!!
Le dimostrazioni le tralascio... quelle prove a farle tu!!
Cordiali saluti
P.S.=Spero di non avere fatto errori
Ti segnalo questo topic (CLIC) di Sergio...
"megaempire":
Per far si che un insieme sia un sotto spazio vettoriale deve :
- essere kiuso rispetto somma e prodotto ed avere l 'elemento neutro.
Perche ,sapendo questo, so anche che nel sottospazio sono verificate le 8 proprietà intrinseche di uno spazio vettoriale? Perche si rende neccessaria la rikiesta che l`elemento neutro appartenga all`insieme?( e già compresa nella chiusura del prodotto)
vedo molta confusione... comunque non è questione di sapere o meno ma di definizioni e proprietà; facciamo un pò di ordine:
Def.: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset \), dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se \( G \) è uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset \) , dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se e soltanto se :
\( 1) \mathrm{v} + \mathrm{w} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{v},\mathrm{w} \in G \)
\( 2) \alpha \cdot \mathrm{x} \in G \) presi un qualunque \( \alpha \in K, \mathrm{x} \in G \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \(+\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset\), dicesi che \( G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \) se e soltanto se \( \alpha \cdot \mathrm{x} + \beta \cdot \mathrm{y} \in G \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x,y} \in G \).
Proprietà: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \(+\) e \( \cdot \) ed \( G \) un insieme, ove \( G \subseteq E \) e \( G \neq \emptyset\), allora:
\( 1) G \) è un sottospazio vettoriale di \( E \) su \( K \) rispetto ad \( + \) e \( \cdot \).
\(2) \mathrm{v} + \mathrm{w} \in G \) presi un qualunque \( \mathrm{v},\mathrm{w} \in G \) e \( \alpha \cdot \mathrm{x} \in G \) presi un qualunque \( \alpha \in K, \mathrm{x} \in G \)
\( 3) \alpha \cdot \mathrm{x} + \beta \cdot \mathrm{y} \in G \) presi un qualunque \( \alpha, \beta \in K, \mathrm{x,y} \in G \)
sono equivalenti.
Spero che ora ti è chiaro!!
Le dimostrazioni le tralascio... quelle prove a farle tu!!
Cordiali saluti
P.S.=Spero di non avere fatto errori
Ti segnalo questo topic (CLIC) di Sergio...
penso che ho capito cosa vuoi dirmi...ma non è ciò che cerco. Tralasciando la definizione di sottospazio vettoriale, i criteri per capire se un insieme è un sotto spazio vettoriale sono tre (spero che in questo non abbia fatto confusione XD):
1. chiuso rispetto la somma
2. chiuso rispetto al prodotto (e se ho capito bene queste due proprietà sono racchiuse nella seconda proprietà che hai scritto).
ma la prof ci ha detto che c'è un altro criterio :
3. nell'insieme che chiediamo di essere sottospazio deve esserci almeno il vettore nullo.
Ed è il più importante in quanto il primo da verificare e anche più facile.
Io mi chiedo è proprio necessario questo criterio? perché può essere inglobato nella chiusura rispetto al prodotto
1. chiuso rispetto la somma
2. chiuso rispetto al prodotto (e se ho capito bene queste due proprietà sono racchiuse nella seconda proprietà che hai scritto).
ma la prof ci ha detto che c'è un altro criterio :
3. nell'insieme che chiediamo di essere sottospazio deve esserci almeno il vettore nullo.
Ed è il più importante in quanto il primo da verificare e anche più facile.
Io mi chiedo è proprio necessario questo criterio? perché può essere inglobato nella chiusura rispetto al prodotto
Salve megaempire,
forse ho capito, mi stai dicendo che se il vettore nullo è elemento del sottoinsieme allora il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale, vero?
Cordiali saluti
"megaempire":
penso che ho capito cosa vuoi dirmi...ma non è ciò che cerco. Tralasciando la definizione di sottospazio vettoriale, i criteri per capire se un insieme è un sotto spazio vettoriale sono tre (spero che in questo non abbia fatto confusione XD):
1. chiuso rispetto la somma
2. chiuso rispetto al prodotto (e se ho capito bene queste due proprietà sono racchiuse nella seconda proprietà che hai scritto).
ma la prof ci ha detto che c'è un altro criterio :
3. nell'insieme che chiediamo di essere sottospazio deve esserci almeno il vettore nullo.
Ed è il più importante in quanto il primo da verificare e anche più facile.
Io mi chiedo è proprio necessario questo criterio? perché può essere inglobato nella chiusura rispetto al prodotto
forse ho capito, mi stai dicendo che se il vettore nullo è elemento del sottoinsieme allora il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale, vero?
Cordiali saluti
Salve megaempire,
rileggendo meglio la tua risposta mi ricordo di questa proprietà nel testo Greco Valabrega, ovvero:
è da lì che stai studiando?
Cordiali saluti!
rileggendo meglio la tua risposta mi ricordo di questa proprietà nel testo Greco Valabrega, ovvero:
è da lì che stai studiando?
Cordiali saluti!
scusami per la risposta in ritardo...si sto studiando dal Greco Valabrega...ma adesso so anche rispondere alla domanda che ho fatto aprendo il topic...scusa ancora per la mia riposta in ritardo
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