(2,2)-forma
mi potreste gentilmente aiutare nello scrivere i termini di una (2,2) forma in $CC^3$?? dette $(x,y,z)$ le coordinate allora dovranno comparire in una (2,2)-forma generale i termini del tipo
$dxdyd\bar{x}d\bar{y}$, $dxdzd\bar{x}\bar{z}$ e poi?????
non riesco a capire
grazie
$dxdyd\bar{x}d\bar{y}$, $dxdzd\bar{x}\bar{z}$ e poi?????
non riesco a capire
grazie
Risposte
Nel corso dei miei studi non ho guardato molto le varietà complesse.
Comunque ci provo...spero di non dire cavolate...
Dando anche un'occhiata alla pagina di Wiki, secondo me, la forma generale di una [tex](p,q)[/tex]-forma è
[tex]$ \alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}f_{IJ}\,\textrm{d}z^I\wedge\textrm{d}\bar{z}^J[/tex]
dove [tex]I,J[/tex] sono multiindici e [tex]|I|,|J|[/tex] sono le lunghezza di [tex]I,J[/tex] rispettivamente.
Da cui dovresti ottenere la generica [tex](2,2)[/tex]-forma sommando su tutti i possibili multiindici (a meno di uno scambio in un multiindice, che dovrebbe causare un cambio di segno) che sono
[tex]I=(1,2),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(1,2),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(1,2),\,J=(2,3)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(2,3)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(2,3)[/tex].
Edit: Corretto qualche errore di battitura.
Comunque ci provo...spero di non dire cavolate...
Dando anche un'occhiata alla pagina di Wiki, secondo me, la forma generale di una [tex](p,q)[/tex]-forma è
[tex]$ \alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}f_{IJ}\,\textrm{d}z^I\wedge\textrm{d}\bar{z}^J[/tex]
dove [tex]I,J[/tex] sono multiindici e [tex]|I|,|J|[/tex] sono le lunghezza di [tex]I,J[/tex] rispettivamente.
Da cui dovresti ottenere la generica [tex](2,2)[/tex]-forma sommando su tutti i possibili multiindici (a meno di uno scambio in un multiindice, che dovrebbe causare un cambio di segno) che sono
[tex]I=(1,2),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(1,2),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(1,2),\,J=(2,3)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(1,3),\,J=(2,3)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(1,2)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(1,3)[/tex],
[tex]I=(2,3),\,J=(2,3)[/tex].
Edit: Corretto qualche errore di battitura.
non ho capito bene cosa intendi ad esempio per $I=(1,2)$???
Con [tex]I = (a,b), J = (c, d)[/tex] credo intenda [tex]\textrm{d}z^a \wedge \textrm{d}z^b \wedge \textrm{d}\bar{z}^c \wedge \textrm{d}\bar{z}^d[/tex]
Sì, confermo quanto dice apatriarca.
Se [tex]I = (a,b), J = (c, d)[/tex], ho posto [tex]\textrm{d}z^I\wedge\textrm{d}\bar{z}^J=\textrm{d}z^a \wedge \textrm{d}z^b \wedge \textrm{d}\bar{z}^c \wedge \textrm{d}\bar{z}^d[/tex].
Se [tex]I = (a,b), J = (c, d)[/tex], ho posto [tex]\textrm{d}z^I\wedge\textrm{d}\bar{z}^J=\textrm{d}z^a \wedge \textrm{d}z^b \wedge \textrm{d}\bar{z}^c \wedge \textrm{d}\bar{z}^d[/tex].
grazie mille a entrambe! molto chiari.
a presto
a presto
Prego 
quindi ad esempio una (1,1)-forma avrà come multi-indici (in questo caso di lunghezza 1) i seguenti
$I=(1)\quad J=(1)$
$I=(1)\quad J=(2)$
$I=(1)\quad J=(3)$
e poi così per la y e la z ??
se è così ho un'altra domanda supponiamo che una (1,1)-forma sia del tipo $a(x,y,z)dx\wedge d\bar{x}$ e la volessi restringere a $\{x=0\}$ allora mi chiedo se la (1,1)-forma svanisca in quanto $x=0$ e li compaiono $dx$ e $d\bar{x}$ oppure dipende da come è fatto $a(x,y,z)$?
$I=(1)\quad J=(1)$
$I=(1)\quad J=(2)$
$I=(1)\quad J=(3)$
e poi così per la y e la z ??
se è così ho un'altra domanda supponiamo che una (1,1)-forma sia del tipo $a(x,y,z)dx\wedge d\bar{x}$ e la volessi restringere a $\{x=0\}$ allora mi chiedo se la (1,1)-forma svanisca in quanto $x=0$ e li compaiono $dx$ e $d\bar{x}$ oppure dipende da come è fatto $a(x,y,z)$?
Beh, no.
Ricorda che [tex]\textrm{d}x[/tex] è una [tex]1[/tex]-forma complessa, ovvero per ogni punto [tex]P[/tex] sulla varietà (in generale, sul dominio della carta) è assegnato un elemento del duale dello spazio tangente in [tex]P[/tex].
Ora, se si annulla la coordinata [tex]x[/tex] di [tex]P[/tex], la forma [tex]\textrm{d}x[/tex] non è detto che si annulli su [tex]P[/tex] (al contrario, si verifica che non è mai nulla, in quanto è un elemento di una base del duale dello spazio tangente!)
Se sei sui punti le cui coordinate sono del tipo [tex](0,x,y)[/tex] allora allora in quei punti tua forma sarà del tipo [tex]a(0,x,y)\left(\textrm{d}x\wedge\textrm{d}\bar{x}\right)_P[/tex].
Ricorda che [tex]\textrm{d}x[/tex] è una [tex]1[/tex]-forma complessa, ovvero per ogni punto [tex]P[/tex] sulla varietà (in generale, sul dominio della carta) è assegnato un elemento del duale dello spazio tangente in [tex]P[/tex].
Ora, se si annulla la coordinata [tex]x[/tex] di [tex]P[/tex], la forma [tex]\textrm{d}x[/tex] non è detto che si annulli su [tex]P[/tex] (al contrario, si verifica che non è mai nulla, in quanto è un elemento di una base del duale dello spazio tangente!)
Se sei sui punti le cui coordinate sono del tipo [tex](0,x,y)[/tex] allora allora in quei punti tua forma sarà del tipo [tex]a(0,x,y)\left(\textrm{d}x\wedge\textrm{d}\bar{x}\right)_P[/tex].
ok grazie milla d'accordo!!
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