2 Soluzioni diverse per uno stesso sistema

[Luca D.1]

Ciao a tutti!
Sono alle prese con delle soluzioni di sistemi e mi succede una cosa piuttosto strana.. se esplicito delle variabili piuttosto che altre ottengo risultati diversi. Provo a spiegarmi con un esempio. Il significato delle variabili è del tutto irrilevante, come l'apparente complessità dei calcoli che ho cercato di controllare più volte! Riporto tutti i calcoli ma potete saltarli direttamente!
${(x(k+1) = 2x(k) - lambda(k)),(lambda(k+1) = -x(k) + lambda(k)):}$
Riscriviamo matricialmente il sistema:
$[[x(k+1)],[lambda(k+1)]] = [[2, -1],[-1, 1]]*[[x(k)],[lambda(k)]]$
Ora, la teoria dei sistemi per sistemi a tempo discreto ci dice che la soluzione è:
$[[x(k)],[lambda(k)]] = A^k*[[x(0)],[lambda(0)]]$ dove $A = [[2, -1],[-1, 1]]$
Per $k = 3$ il testo ci indica che $lambda(3) = x(3) - 1$ e $x(0) = 10$
Benissimo, quindi:
$[[x(3)],[lambda(3)]] = A^3*[[10],[lambda(0)]]$
$A^3 = [[13, -8], [-8, 5]]$
Quindi:
$x(3) = 13*10 - 8*lambda(0)$
$lambda(3) = -8*10 + 5*lambda(0)$ da cui $lambda(0) = (lambda(3)+80)/5$
Sapendo che $lambda(3) = x(3) - 1 -> lambda(0) = (x(3)-1+80)/5$
Concludiamo che:
$x(3) = 130 - 8*(80 + x(3) - 1)/5$
$x(3) = (650-640+8)/(5+8) =1.3846$

BENE!
Ora se riprendo il sistema scritto in testa, e cioè:
${(x(k+1) = 2x(k) - lambda(k)),(lambda(k+1) = -x(k) + lambda(k)):}$
ricavando $lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)$ posso riscrivere il sistema così:
${(x(k+1) = x(k) - lambda(k+1)),(lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)):}$
A questo punto la matrice A diventa
$A = [[1, -1],[1, 1]]$
e per $k = 3 -> A^3 = [[-2, -2],[2, -2]]$
Quindi ragionando come prima:
$x(3) = -20-2*lambda(3) = -20-2*(x(3)-1)$
$x(3) = -18/3 = -6$ <- DIVERSO DALLA SOLUZIONE PRECEDENTE
Grazie infinite..!

[raff5184]

"Luca D.":

Ora se riprendo il sistema scritto in testa, e cioè:
${(x(k+1) = 2x(k) - lambda(k)),(lambda(k+1) = -x(k) + lambda(k)):}$
ricavando $lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)$ posso riscrivere il sistema così:
${(x(k+1) = x(k) - lambda(k+1)),(lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)):}$

E' a questo punto che cambiano le cose. Alla prima risoluzione hai fatto questo:

"Luca D.":
Riscriviamo matricialmente il sistema:
$[[x(k+1)],[lambda(k+1)]] = [[2, -1],[-1, 1]]*[[x(k)],[lambda(k)]]$
Ora, la teoria dei sistemi per sistemi a tempo discreto ci dice che la soluzione è:
$[[x(k)],[lambda(k)]] = A^k*[[x(0)],[lambda(0)]]$ dove $A = [[2, -1],[-1, 1]]$

Ora qui il primo vettore è
$[[x(k+1)],[lambda(k)]] =...$ nota il secondo elemento del vettore: $lambda(k)$

"Luca D.":
A questo punto la matrice A diventa
$A = [[1, -1],[1, 1]]$

si, ma il vettore per cui $A$ è moltiplicata non è quello di prima, ossia $ [[x(k)],[lambda(k)]]$, bensì$ [[x(k)],[lambda(k+1)]]$

ok?

[Luca D.1]

"raff5184":

si, ma il vettore per cui $A$ è moltiplicata non è quello di prima, ossia $ [[x(k)],[lambda(k)]]$, bensì$ [[x(k)],[lambda(k+1)]]$

ok?

Grazie per la risposta!
Però mi sembra che il secondo vettore sia già quello da te indicato, infatti ho scritto:
${(x(k+1) = x(k) - lambda(k+1)),(lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)):}$
che possiamo scrivere come:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]*[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$
Mi sfugge qualcosa?

[raff5184]

"Luca D.":

Però mi sembra che il secondo vettore sia già quello da te indicato, infatti ho scritto:
${(x(k+1) = x(k) - lambda(k+1)),(lambda(k) = x(k) + lambda(k+1)):}$

Scusa nn ho capito che vuoi dire.

Io intendevo che viene cosi:

"Luca D.":
che possiamo scrivere come:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$
Mi sfugge qualcosa?

penso che stiamo dicendo la stessa cosa. E' da qui che non ti trovi giusto?

MA... ora come scriveresti il passaggio succesivo? Cioè quello che ti lega vettorialmente x(3), $lambda(3)$, x(0)...?

[Luca D.1]

"raff5184":
Io intendevo che viene cosi:
[quote="Luca D."]
che possiamo scrivere come:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$
Mi sfugge qualcosa?

penso che stiamo dicendo la stessa cosa. E' da qui che non ti trovi giusto?

MA... ora come scriveresti il passaggio succesivo? Cioè quello che ti lega vettorialmente x(3), $lambda(3)$, x(0)...?[/quote]
Noi siamo arrivati qui:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$
E la soluzione del sistema, per $k = 3$ è:
$[[x(3)],[lambda(0)]]=[[1, -1],[1,1]]^3*[[x(0)],[lambda(3)]]$
$[[x(3)],[lambda(0)]]=[[-2, -2],[2,-2]]*[[x(0)],[lambda(3)]]$
$x(3) = -2*x(0) -2*lambda(3) = -20 - 2*(x(3) - 1) -> x(3) = -6$ DIVERSO DA PRIMA!
Ok?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Luca D.":Noi siamo arrivati qui:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$
E la soluzione del sistema, per $k = 3$ è:
$[[x(3)],[lambda(0)]]=[[1, -1],[1,1]]^3*[[x(0)],[lambda(3)]]$
$[[x(3)],[lambda(0)]]=[[-2, -2],[2,-2]]*[[x(0)],[lambda(3)]]$
$x(3) = -2*x(0) -2*lambda(3) = -20 - 2*(x(3) - 1) -> x(3) = -6$ DIVERSO DA PRIMA!
Ok?

Ma aspetta Luca D. ... la matrice a cui fai riferimento nel primo svolgimento è quella che esprime le variabili al passo k+1 in funzione delle variabili al passo k. Invece in questo caso:

$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$

parti dalla x in k e da lambda in k+1, e ottieni x in k+1 e lambda in k. Quindi non è applicabile lo stesso metodo che usi nel primo svolgimento.

[raff5184]

"Luca D.":
Noi siamo arrivati qui:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]]=[[1, -1],[1,1]]*[[x(k)],[lambda(k+1)]]$

bene

"Luca D.":
E la soluzione del sistema, per $k = 3$ è:
$[[x(3)],[lambda(0)]]=[[1, -1],[1,1]]^3*[[x(0)],[lambda(3)]]$

Ecco qui volevo arrivare! Non va bene!

Nel primo vettore, sostituisci x(3) al primo elemento perché lo conosci e va bene. Ora al secondo elemento dovresti sostituire l'elemento $lambda$ valutato nello stesso punto in cui hai valutato x... I valori valutati in $0$ si sotituiscono nel secondo vettore, non nel primo.
Ora se tu hai messo x(3) come primo elemento significa che hai fatto x(k+1=3) cioè k=2.. Pertanto devi mettere $lambda(2)$ al secondo elemento, ma non lo conosci!
Cioè nel primo devi mettere o x(3) e $lambda(2)$ (perché hai x(k+1) e $lambda(k)$, $lambda$ è valutato ad un passo precedente: 3-1=2) oppure $x(4)$ e $lambda(3)$ (per lo stesso discorso). Ma non avendo né x(4) né $lambda(2)$ il metodo non va bene, non è applicabile!

[Luca D.1]

Aspettate.. forse con questo link ci capiamo meglio!
http://www-lar.deis.unibo.it/people/gpalli/files/Esami/Soluzioni-070111.pdf
Pagina 3 punto c)
L'ultimo sistema scritto è:
$[[x(N)],[lambda(0)]] = [[1, -1],[1,1]]^N*[[x(0)],[lambda(N)]]$
Per $N = 3$ non è esattamente quello che avevo scritto io? E cioé:
$[[x(3)],[lambda(0)]] = [[1, -1],[1,1]]^3*[[x(0)],[lambda(3)]]$

[raff5184]

"Luca D.":
Per $N = 3$ non è esattamente quello che avevo scritto io? E cioé:
$[[x(3)],[lambda(0)]] = [[1, -1],[1,1]]^3*[[x(0)],[lambda(3)]]$

a dire la verità non ho studiato i sistemi Hamiltoniani all'uni né purtroppo oggi ho tempo per vedermeli (domani ho un esame) ma nel tuo caso puoi scrivere il tuo sistema come sistema Hamiltoniano?

[Luca D.1]

"raff5184":
a dire la verità non ho studiato i sistemi Hamiltoniani all'uni né purtroppo oggi ho tempo per vedermeli (domani ho un esame) ma nel tuo caso puoi scrivere il tuo sistema come sistema Hamiltoniano?

Non avevo postato prima il link proprio per non far perdere tempo a chi legge visto che alla fine il fatto che sia un sistema Hamiltoniano è ininfluente.
Il mio sistema è esattamente quello dell'esercizio di quella pagina.
Generalmente i sistemi li scrivo nella forma:
$[[x(k+1)],[lambda(k+1)]] = ...$
ma in quell'esercizio ho trovato che viene risolto nella forma:
$[[x(k+1)],[lambda(k)]] = ...$
alla fine dovrebbe essere la stessa cosa.
L'unico concetto da applicare è che dato un sistema nella forma:
$lambda(k+1) = A*lambda(k)$
La soluzione è:
$lambda(k) = A^k*lambda(0)$
Quindi invertendo gli indici dovrebbe essere:
$lambda(k) = A*lambda(k+1)$
$lambda(N-k) = A^klambda*(N)$
Al passo N-esimo diventa:
$lambda(0) = A^Nlambda*(N)$
Essendo noi interessati al passo 3 otteniamo:
$lambda(0) = A^3lambda*(3)$
Che dovrebbe essere esattamente come ho fatto prima.. ma il risultato non torna!
Cmq grazie lo stesso per avermi seguito fin qui!