2 Dubbi: Nucleo e isomorfismo
Ciao ragazzi,
solitamente apro una discussione per ogni argomento, ma in questo caso si tratta di due domande veloci.
1 - Non mi è chiara una cosa, ogni applicazione lineare può essere, una volta fissate le basi, rappresentata da una (sola?) matrice. Il nucleo di una applicazione lineare corrisponde al nucleo di una matrice che la rappresenta. Ma quindi tutte le matrici che rappresentano l'applicazione lineare hanno lo stesso nucleo. Quindi, più banalmente, tutti i sistemi omogenei rappresentati da queste matrici avranno la stessa soluzione. Corretto?
2 - So che un isomorfismo preserva la struttura di spazio vettoriale. Poniamo che io debba verificare che 4 matrici 2x2 (su $RR$) formino una base di tale spazio, devo ovviamente verificare che siano tra di loro linearmente indipendenti. Per dimostrare ciò potrei, sfruttando il fatto che lo spazio della matrici quadrate 2x2 è isomorfo a $RR^4$, "spostare" il problema su $RR^4$ e quindi risolvere un banale sistema 4x4 anziché fare i conti con le matrici?
Spero di essermi spiegato, se così non fosse spenderò qualche altra parola in più per esprimermi meglio.
Grazie mille,
Marco
solitamente apro una discussione per ogni argomento, ma in questo caso si tratta di due domande veloci.
1 - Non mi è chiara una cosa, ogni applicazione lineare può essere, una volta fissate le basi, rappresentata da una (sola?) matrice. Il nucleo di una applicazione lineare corrisponde al nucleo di una matrice che la rappresenta. Ma quindi tutte le matrici che rappresentano l'applicazione lineare hanno lo stesso nucleo. Quindi, più banalmente, tutti i sistemi omogenei rappresentati da queste matrici avranno la stessa soluzione. Corretto?
2 - So che un isomorfismo preserva la struttura di spazio vettoriale. Poniamo che io debba verificare che 4 matrici 2x2 (su $RR$) formino una base di tale spazio, devo ovviamente verificare che siano tra di loro linearmente indipendenti. Per dimostrare ciò potrei, sfruttando il fatto che lo spazio della matrici quadrate 2x2 è isomorfo a $RR^4$, "spostare" il problema su $RR^4$ e quindi risolvere un banale sistema 4x4 anziché fare i conti con le matrici?
Spero di essermi spiegato, se così non fosse spenderò qualche altra parola in più per esprimermi meglio.
Grazie mille,
Marco
Risposte
Ciao, spero di aver capito le tue domande/perplessità e, quindi, provo a risponderti.
1 - Una sola (!) matrice, ma in quelle basi. In generale sarà rappresentata da matrici tra di esse "coniugate". E, anche per quanto riguarda il nucleo, il nocciolo della questione risiede nelle basi. Due vettori apparentemente distinti, se espressi nella stessa base, possono coincidere e quindi essere lo stesso elemento nel nucleo della tua applicazione.
2 - L'idea è giusta e risolutiva. Puoi anche non passare da $\mathbb{R}^4$ e fare la verifica in $M_2(\mathbb{R})$ (potrebbe tornarti utile ricordare qual è la base standard di $M_2(\mathbb{R})$). In fondo, è la stessa cosa.
1 - Una sola (!) matrice, ma in quelle basi. In generale sarà rappresentata da matrici tra di esse "coniugate". E, anche per quanto riguarda il nucleo, il nocciolo della questione risiede nelle basi. Due vettori apparentemente distinti, se espressi nella stessa base, possono coincidere e quindi essere lo stesso elemento nel nucleo della tua applicazione.
2 - L'idea è giusta e risolutiva. Puoi anche non passare da $\mathbb{R}^4$ e fare la verifica in $M_2(\mathbb{R})$ (potrebbe tornarti utile ricordare qual è la base standard di $M_2(\mathbb{R})$). In fondo, è la stessa cosa.
Innanzi tutto grazie mille della risposta sei stato molto gentile.
1 - Per ogni coppia di basi (una del dominio e una dell'immagine), la mia applicazione si può rappresentare con una e una sola matrice. Ok. Ma quindi tutte queste matrici sono tra loro "coniugate" (ovvero rappresentano la stessa trasformazione di un vettore). Ecco, forse è qui che arriva il mio dubbio... ma il nuncleo e l'immagine di un'applicazione lineare dipendono dalla matrice scelta o sono uguali in tutte le basi? La dimensione rimane costante $dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))$ e lo so, ma "il contenuto"?
Mi ripeto, la mia perplessità nasce dal fatto che significa che l'applicazione, a seconda della coppia di basi scelte, si può rappresentare con infinite matrici. Denotiamole con $ A,B,C,...$.
Allora:
$Ker(f) = Ker(A) = Ker(B) = Ker(C)$ ma $Ker(A)$ sono le soluzioni del sistema $Ax = 0$.
Se il nucleo è sempre lo stesso significa che tutte le matrici rappresentative di quell'applicazione rappresentano dei sistemi omogenei che hanno tutti le stesse soluzioni? Oppure le soluzioni dipendono anche dal vettore $x$?
Spero di farmi capire
2 - La base standard la conosco, era solo per capire se era lecito oppure no! Ma quindi dato che ogni spazio vettoriale su $K$ di dimensione $n$ è isomorfo a $K^n$ significa che qualsiasi problema di verificare l'indipendenza lineare in uno spazio vettoriale generico sul campo K è riconducibile ad un "normale" sistema di scalari? Grandioso!
1 - Per ogni coppia di basi (una del dominio e una dell'immagine), la mia applicazione si può rappresentare con una e una sola matrice. Ok. Ma quindi tutte queste matrici sono tra loro "coniugate" (ovvero rappresentano la stessa trasformazione di un vettore). Ecco, forse è qui che arriva il mio dubbio... ma il nuncleo e l'immagine di un'applicazione lineare dipendono dalla matrice scelta o sono uguali in tutte le basi? La dimensione rimane costante $dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))$ e lo so, ma "il contenuto"?
Mi ripeto, la mia perplessità nasce dal fatto che significa che l'applicazione, a seconda della coppia di basi scelte, si può rappresentare con infinite matrici. Denotiamole con $ A,B,C,...$.
Allora:
$Ker(f) = Ker(A) = Ker(B) = Ker(C)$ ma $Ker(A)$ sono le soluzioni del sistema $Ax = 0$.
Se il nucleo è sempre lo stesso significa che tutte le matrici rappresentative di quell'applicazione rappresentano dei sistemi omogenei che hanno tutti le stesse soluzioni? Oppure le soluzioni dipendono anche dal vettore $x$?
Spero di farmi capire
2 - La base standard la conosco, era solo per capire se era lecito oppure no! Ma quindi dato che ogni spazio vettoriale su $K$ di dimensione $n$ è isomorfo a $K^n$ significa che qualsiasi problema di verificare l'indipendenza lineare in uno spazio vettoriale generico sul campo K è riconducibile ad un "normale" sistema di scalari? Grandioso!
Inverto l'ordine delle risposte:
2 - In linea di principio sì. Poi di volta in volta ti converrà vedere se ti conviene farlo o meno.
1 - Siano $A$ e $B$ due di queste matrici. Allora esiste $C$ tale che $C^{-1}AC=B$. Sia $x$ un vettore tale che $Bx=0$ allora $C^{-1}ACx=$ e quindi $x$, scritto nelle nuove coordinate, è nel nucleo. Analogo discorso si fa con i vettori dell'immagine.
Spero di essere stato più chiaro questa volta.
2 - In linea di principio sì. Poi di volta in volta ti converrà vedere se ti conviene farlo o meno.
1 - Siano $A$ e $B$ due di queste matrici. Allora esiste $C$ tale che $C^{-1}AC=B$. Sia $x$ un vettore tale che $Bx=0$ allora $C^{-1}ACx=$ e quindi $x$, scritto nelle nuove coordinate, è nel nucleo. Analogo discorso si fa con i vettori dell'immagine.
Spero di essere stato più chiaro questa volta.
1 - Perfetto. Quello che non avevo considerato era che di volta in volta anche il vettore $x$ è espresso nelle coordinate della base scelta.
Grazie mille veramente di tutto! Buona giornata
Grazie mille veramente di tutto! Buona giornata
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