2 Domande (sottospazi)

[domenico-fiamma-8]

Salve a tutti, ho qui due domande da proporvi a cui ho risposto, ma volevo sapere se sono giuste

1) Sia $V_4$ uno spazio vettoriale di dimensione $4$. Esistono due sottospazi $U$ e $W$ di $V_4$ entrambi di dimensione $3$ che si intersechino in un sottospazio di dimensione $1$?

2) Se $U$ e $W$ sono due sottospazi distinti e non banali di $V_4$, entrambi di dimensione pari, allora la loro somma è un sottospazio di $V_4$ di dimensione $3$?

Risposte :

1) Tramite la formula di Grassman io so che : $dim(U+W) = dimU + dimW - dim(U\capW)$
Ponendo $dim(U+W) = 4$ e$dimU = 3$ e $dimW= 3$ la loro intersezione deve avere dimensione $2$ e non $1$, dunque è sbagliata.

2)Essendo $W$ e $U$ sottospazi di $V_4$ la loro dimensione non può mai superare $4$ e in particolare : essendo non banali e distinti, ma soprattutto pari, è impossibile che creino un sottospazio di dimensione $3$, perchè al massimo può essere $dimU=2$ $dimW=4$ e $dim(U\capW) =3$ ma $dim(U\capW)$ non può essere maggiore della $dimU$.

Fatemi sapere!

[Samy211]

Sulla prima risposta non dovrebbero esserci dubbi, la risposta alla domanda dovrebbe essere no.

Penso sia corretta anche la seconda.

Comunque, buona vigilia!